問題文全文(内容文)：
「3ケタの正の整数で、百の位を2倍した数と下2ケタの数との和が7の倍数ならば、もとの整数は7の倍数である」なぜ？
百の位をa,十の位をb、一の位をcとする。

岡山県

問題文全文(内容文)：
$3^n=k^4+k^2+1$
整数$(k,n)$をすべて求めよ.

問題文全文(内容文)：
$m^2+615=2^n$である,自然数$m,n$を求めよ.

問題文全文(内容文)：
(1)168を素因数分解すると 168=(ア)^(イ)×3×(ウ) である。
よって、168の正の約数の個数は(エオ)個であり、AB=168かつ3≦A＜Bを満たすA,Bの組は、全部で(カ)個である。
(2)正の整数nは正の約数の個数が6個であり、正の約数の総和が168であるとする。このような正の整数nのうち、異なる２つの素因数を持つものを求めよう。
nは異なる素数p,qを用いて、n=p^(キ)・q と表せる。
このとき、nの正の約数の総和は［ク］であるから、p=(ケ) であり、n=(コサ) である。

［ク］の解答群
0: (p+p²)q
1: (1+p+p²)q
2: (p+p²)(1+q)
3: (1+p+p²)(1+q)
4: (p+p²+p³)q
5: (1+p+p²+p³)q
6: (p+p²+p³)(1+q)
7: (1+p+p²+p³)(1+q)

(3)正の整数mは正の約数の個数が12個であり、正の約数の総和が624であるとする。このような正の整数mのうち、異なる3つの素因数を持つものは m=(シスセ) である。

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}4\mathrm{問}$
正の整数$m$に対して
$a^2+b^2+c^2+d^2=m,$$a\geqq b\geqq c\geqq d\geqq 0$　$\cdots$①
を満たす整数$a,b,c,d$の組がいくつあるかを考える。

(1)$m=14$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$
は
$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}})$
のただ一つである。
また、$m=28$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組の個数は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$個である。

(2)$a$が奇数のとき、整数$n$を用いて$a=2n+1$と表すことができる。
このとき、$n(n+1)$は偶数であるから、次の条件が全ての奇数$a$で成り立つ
ような正の整数$h$のうち、最大のものは$h=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$である。

条件:$a^2-1$は$h$の倍数である。

よって、$a$が奇数の時、$a^2$を$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$で割った時の余りは$1$である。
また、$a$が偶数の時、$a^2$を$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$で割った時の余りは、$0$または$4$の
いずれかである。

(3)(2)により、$a^2+b^2+c^2+d^2$が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$の倍数ならば、整数$a,b,c,d$
のうち、偶数であるものの個数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$個である。

(4)(3)を用いることにより、$m$が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$の倍数であるとき、①を満たす整数
$a,b,c,d$が求めやすくなる。
例えば、$m=224$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$は
$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}\mathrm{ケ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}})$
のただ1つであることが分かる。

(5)7の倍数で896の約数である正の整数$m$のうち、①を満たす整数$a,b,c,d$
の組の個数が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$個であるものの個数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$個であり、
そのうち最大のものは$m=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}\mathrm{タ}}}$である。

2021共通テスト過去問