福田の数学〜東京慈恵会医科大学2022年医学部第３問〜約数と倍数の性質

問題文全文(内容文)：
mは3以上の奇数とし、mの全ての正の約数を

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}

と並べる。
ただし、

a_{1} < a_{2} < \dots < a_{k}

とする。
以下の2つの条件

(i), (ii)

を満たすmについて考える。

(i) m

は素数ではない。

(ii) i ≦ j, 1 < i < k, 1 < j < k

を満たす全ての整数i,jについて

a_{j} - a_{i} ≦ 3

が
成り立つ。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)kは3または4であることを示し、mを

a_{2}

を用いて表せ。
(2)

k = 3

となるとき、全ての正の整数nについて

(a_{2} n + 1)^{a_{2}} - 1

は
mの倍数であることを示せ。

2022東京慈恵会医科大学医学部過去問

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東京慈恵会医科大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
mは3以上の奇数とし、mの全ての正の約数を

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}

と並べる。
ただし、

a_{1} < a_{2} < \dots < a_{k}

とする。
以下の2つの条件

(i), (ii)

を満たすmについて考える。

(i) m

は素数ではない。

(ii) i ≦ j, 1 < i < k, 1 < j < k

を満たす全ての整数i,jについて

a_{j} - a_{i} ≦ 3

が
成り立つ。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)kは3または4であることを示し、mを

a_{2}

を用いて表せ。
(2)

k = 3

となるとき、全ての正の整数nについて

(a_{2} n + 1)^{a_{2}} - 1

は
mの倍数であることを示せ。

2022東京慈恵会医科大学医学部過去問

投稿日：2022.02.24

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

　2つの関数
f(x)=

\cos x

,　g(x)=

\sqrt{\frac{π^{2}}{2} - x^{2} - \frac{π}{2}}

がある。
(1)0≦x≦

\frac{π}{2}

のとき、不等式

\frac{2}{π} x

≦

\sin x

が成り立つことを示せ。
(2)0≦x≦

\frac{π}{2}

のとき、不等式g(x)≦f(x)が成り立つことを示せ。
(3)0≦x≦

\frac{π}{2}

の範囲において、2つの曲線y=f(x), y=g(x)およびy軸が囲む部分の面積を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

x^{2 n} - 4 x^{8} + A x + B

が

x^{2} - x + 1

で割り切れる整数

A, B

を求めよ.

n

を自然数とする.

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問題文全文(内容文)：
次の式が

x

についての恒等式となるように、定数

a, b, c

の値を求めよ。
（1）

3 x^{2} + 8 x + 6 = a (x + 1)^{2} + b (x + 1) + c

（2）

\frac{3}{(x - 1) (2 x + 1)} = \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{2 x - 1}

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

(45 + \sqrt{2020})^{2020}

の整数部分の下2ケタを求めよ

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

整式f(x)=

(x - 1)^{2} (x - 2)

を考える。
(1)g(x)を実数を係数とする整式とし、g(x)をf(x)で割った余りをr(x)とおく。

g (x)^{7}

をf(x)で割った余りと

r (x)^{7}

をf(x)で割った余りが等しいことを示せ。
(2)a,bを実数とし、h(x)=

x^{2}

+ax+b　とおく。

h (x)^{7}

をf(x)で割った余りを

h_{1} (x)

とおき、

h_{1} (x)^{7}

をf(x)で割った余りを

h_{2} (x)

とおく。

h_{2} (x)

がh(x)に等しくなるようなa,bの組を全て求めよ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜東京慈恵会医科大学2022年医学部第３問〜約数と倍数の性質

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