福田次郎
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福田の数学〜早稲田大学2021年理工学部第４問〜場合の数と確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}$ $n,k$を$2$以上の自然数とする。$n$個の箱の中に$k$個の玉を無作為に入れ、各箱に入った玉の
個数を数える。その最大値と最小値の差がlとなる確率を$P_l(0 \leqq l \leqq k)$とする。
(1)$n=2,$ $k=3$のとき、$P_0,P_1,P_2,P_3$を求めよ。
(2)$n \geqq 2,$ $k=2$のとき、$P_0,P_1,P_2$を求めよ。
(3)$n \geqq 3,$ $k=3$のとき、$P_0,P_1,P_2,P_3$を求めよ。
2021早稲田大学理工学部過去問
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${\Large\boxed{4}}$ $n,k$を$2$以上の自然数とする。$n$個の箱の中に$k$個の玉を無作為に入れ、各箱に入った玉の
個数を数える。その最大値と最小値の差がlとなる確率を$P_l(0 \leqq l \leqq k)$とする。
(1)$n=2,$ $k=3$のとき、$P_0,P_1,P_2,P_3$を求めよ。
(2)$n \geqq 2,$ $k=2$のとき、$P_0,P_1,P_2$を求めよ。
(3)$n \geqq 3,$ $k=3$のとき、$P_0,P_1,P_2,P_3$を求めよ。
2021早稲田大学理工学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系021〜極限(21)関数の極限、三角関数の極限(1)
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限(1)
$\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\sin\theta}{\theta}=1$ を証明せよ。
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数学$\textrm{III}$ 三角関数の極限(1)
$\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\sin\theta}{\theta}=1$ を証明せよ。
福田のわかった数学〜高校１年生025〜グラフの対称性と平行移動の概念
単元：
#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$ 対称性、平行移動の概念
次の式の表すグラフを描け。
$|x|+|y|=1$
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数学$\textrm{I}$ 対称性、平行移動の概念
次の式の表すグラフを描け。
$|x|+|y|=1$
福田の数学〜早稲田大学2021年理工学部第３問〜複素数平面上の点の軌跡
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#積分とその応用#複素数平面#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$ 複素数$\alpha=2+i,$ $\beta=-\displaystyle \frac{1}{2}+i$に対応する複素数平面上の点を$A(\alpha),\ B(\beta)$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)複素数平面上の点$C(\alpha^2),\ D(\beta^2)$と原点$O$の3点は一直線上にあることを示せ。
(2)点$P(z)$が直線$AB$上を動くとき、$z^2$の実部を$x$、虚部を$y$として、点$Q(z^2)$の軌跡
を$x,y$の方程式で表せ。
(3)点$P(z)$が三角形$OAB$の周および内部にあるとき、点$Q(z^2)$全体のなす図形をK
とする。$K$を複素数平面上に図示せよ。
(4)(3)の図形$K$の面積を求めよ。
2021早稲田大学理工学部過去問
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${\Large\boxed{3}}$ 複素数$\alpha=2+i,$ $\beta=-\displaystyle \frac{1}{2}+i$に対応する複素数平面上の点を$A(\alpha),\ B(\beta)$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)複素数平面上の点$C(\alpha^2),\ D(\beta^2)$と原点$O$の3点は一直線上にあることを示せ。
(2)点$P(z)$が直線$AB$上を動くとき、$z^2$の実部を$x$、虚部を$y$として、点$Q(z^2)$の軌跡
を$x,y$の方程式で表せ。
(3)点$P(z)$が三角形$OAB$の周および内部にあるとき、点$Q(z^2)$全体のなす図形をK
とする。$K$を複素数平面上に図示せよ。
(4)(3)の図形$K$の面積を求めよ。
2021早稲田大学理工学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系020〜極限(20)関数の極限、無理関数の極限(5)
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(5)
$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+2x+3}-(ax+b))$
を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(5)
$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+2x+3}-(ax+b))$
を求めよ。
福田のわかった数学〜高校２年生024〜2つの円の共通接線の求め方
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 2つの円の共通接線
円$C_1:(x-1)^2+y^2=1$
円$C_2:(x-4)^2+y^2=4$
の共通接線の方程式を求めよ。
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数学$\textrm{II}$ 2つの円の共通接線
円$C_1:(x-1)^2+y^2=1$
円$C_2:(x-4)^2+y^2=4$
の共通接線の方程式を求めよ。
福田の数学〜早稲田大学2021年理工学部第２問〜整式の割り算と二項定理
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{2}}$ 整式$f(x)=x^4-x^2+1$ について、以下の問いに答えよ。
(1)$x^6$を$f(x)$で割った時の余りを求めよ。
(2)$x^{2021}$を$f(x)$で割った時の余りを求めよ。
(3)自然数$n$が$3$の倍数であるとき、$(x^2-1)^n-1$
が$f(x)$で割りきれることを示せ。
2021早稲田大学理工学部過去問
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${\Large\boxed{2}}$ 整式$f(x)=x^4-x^2+1$ について、以下の問いに答えよ。
(1)$x^6$を$f(x)$で割った時の余りを求めよ。
(2)$x^{2021}$を$f(x)$で割った時の余りを求めよ。
(3)自然数$n$が$3$の倍数であるとき、$(x^2-1)^n-1$
が$f(x)$で割りきれることを示せ。
2021早稲田大学理工学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系019〜極限(19)関数の極限、無理関数の極限(4)
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(4)
$\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1})$ を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(4)
$\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1})$ を求めよ。
福田のわかった数学〜高校１年生024〜共通解の考え方
単元：
#数Ⅰ#２次関数#2次方程式と2次不等式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$ 共通解の考え方
$\left\{\begin{array}{1}
x^2+2x+a=0\\
x^2+ax+2=0\\
\end{array}\right.$
が実数の共通解をもつように
定数$a$の値を求めよ。
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数学$\textrm{I}$ 共通解の考え方
$\left\{\begin{array}{1}
x^2+2x+a=0\\
x^2+ax+2=0\\
\end{array}\right.$
が実数の共通解をもつように
定数$a$の値を求めよ。
福田の数学〜早稲田大学2021年理工学部第１問〜２直線のなす角の最小
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#加法定理とその応用#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ $xy$平面上の曲線$y=x^3$を$C$とする。$C$上の2点$A(-1,-1), B(1,1)$をとる。
さらに、$C$上で原点$O$と$B$の間に動点$P(t,t^3)(0 \lt t \lt 1)$をとる。このとき、
以下の問いに答えよ。
(1)直線$AP$と$x$軸のなす角を$\alpha$とし、直線$PB$と$x$軸のなす角を$\beta$とするとき、
$\tan\alpha,\tan\beta$を$t$を用いて表せ。ただし、$0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\pi}{2},\ 0 \lt \beta \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする。
(2)$\tan\angle APB$を$t$を用いて表せ。
(3)$\angle APB$を最小にする$t$の値を求めよ。
2021早稲田大学理工学部過去問
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${\Large\boxed{1}}$ $xy$平面上の曲線$y=x^3$を$C$とする。$C$上の2点$A(-1,-1), B(1,1)$をとる。
さらに、$C$上で原点$O$と$B$の間に動点$P(t,t^3)(0 \lt t \lt 1)$をとる。このとき、
以下の問いに答えよ。
(1)直線$AP$と$x$軸のなす角を$\alpha$とし、直線$PB$と$x$軸のなす角を$\beta$とするとき、
$\tan\alpha,\tan\beta$を$t$を用いて表せ。ただし、$0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\pi}{2},\ 0 \lt \beta \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする。
(2)$\tan\angle APB$を$t$を用いて表せ。
(3)$\angle APB$を最小にする$t$の値を求めよ。
2021早稲田大学理工学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系018〜極限(18)関数の極限、無理関数の極限(3)
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(3)
$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1})$ を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(3)
$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1})$ を求めよ。
福田のわかった数学〜高校２年生023〜円の外部から引いた接線の求め方
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#微分法と積分法#円と方程式#接線と増減表・最大値・最小値#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 円と接線
点$A(2,4)$から
円$C:(x+2)^2+(y-2)^2=10$
へ引いた接線の方程式を求めよ。
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数学$\textrm{II}$ 円と接線
点$A(2,4)$から
円$C:(x+2)^2+(y-2)^2=10$
へ引いた接線の方程式を求めよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系017〜関数の極限、無理関数の極限(2)
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(2)
$\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\sqrt[3]x-1}{\sqrt x-1}$ を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 無理関数の極限(2)
$\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\sqrt[3]x-1}{\sqrt x-1}$ を求めよ。
福田のわかった数学〜高校１年生023〜連立２次不等式の整数解の個数
単元：
#数Ⅰ#２次関数#2次方程式と2次不等式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$ 連立2次不等式
$\left\{\begin{array}{1}
x^2-2x-3 \gt 0\\
x^2-(a+1)x+a \lt 0\\
\end{array}\right.$
をともに満たす整数がただ1つとなる
ようなaの値の範囲を求めよ。
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数学$\textrm{I}$ 連立2次不等式
$\left\{\begin{array}{1}
x^2-2x-3 \gt 0\\
x^2-(a+1)x+a \lt 0\\
\end{array}\right.$
をともに満たす整数がただ1つとなる
ようなaの値の範囲を求めよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系016〜極限(16)関数の極限、無理関数の極限
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 極限(16)
$\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\sqrt{x+8}-3}{\sqrt{x+3}-2}$ を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 極限(16)
$\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\sqrt{x+8}-3}{\sqrt{x+3}-2}$ を求めよ。
福田のわかった数学〜高校２年生022〜円の外部から引いた接線の求め方
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$C:x^2+y^2=4$ の接線で$(2,3)$を通るものと
そのときの接点を次の3通りの方法で求めよ。
(1)接線の公式$x_1x+y_1=r^2$ を利用
(2)点と直線の距離の公式を利用
(3)判別式を利用
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数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$C:x^2+y^2=4$ の接線で$(2,3)$を通るものと
そのときの接点を次の3通りの方法で求めよ。
(1)接線の公式$x_1x+y_1=r^2$ を利用
(2)点と直線の距離の公式を利用
(3)判別式を利用
福田のわかった数学〜高校１年生022〜２次方程式の解の分離
単元：
#数Ⅰ#２次関数#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$ 2次方程式の解の分離
$a \geqq 0$のとき、
$x^2-(a+1)x-a=0$
の実数解の取り得る値の範囲を求めよ。
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数学$\textrm{I}$ 2次方程式の解の分離
$a \geqq 0$のとき、
$x^2-(a+1)x-a=0$
の実数解の取り得る値の範囲を求めよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系015〜極限(15)級数と区分求積
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 極限(15)
$\lim_{n \to \infty}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4n^2-k^2}}$ を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 極限(15)
$\lim_{n \to \infty}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4n^2-k^2}}$ を求めよ。
福田のわかった数学〜高校２年生021〜円の接線と極線に関するまとめ
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$C:x^2+y^2=r^2$と点$P(x_1,y_1)$に対して
$x_1x+y_1y=r^2$
は次のそれぞれの場合にどんな直線か。
(1)点$P$が$C$上 (2)点$P$が$C$の外部
(3)点$P$が$C$の内部、ただし原点を除く
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数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$C:x^2+y^2=r^2$と点$P(x_1,y_1)$に対して
$x_1x+y_1y=r^2$
は次のそれぞれの場合にどんな直線か。
(1)点$P$が$C$上 (2)点$P$が$C$の外部
(3)点$P$が$C$の内部、ただし原点を除く
福田のわかった数学〜高校１年生021〜２次方程式の解の分離
単元：
#数Ⅰ#２次関数#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$ 2次方程式の解の分離
$x^2-2ax+a+2=0$
の解が$1 \lt x \lt 3$の範囲に少なくとも
1つ存在する$a$の範囲を求めよ。
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数学$\textrm{I}$ 2次方程式の解の分離
$x^2-2ax+a+2=0$
の解が$1 \lt x \lt 3$の範囲に少なくとも
1つ存在する$a$の範囲を求めよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系014〜極限(14)級数と区分求積
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 極限(14)
$\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{(1^2+2^2+\cdots+n^2)(1^5+2^5+\cdots+n^5)}{(1^2+2^2+\cdots+n^2)(1^6+2^6+\cdots+n^6)}$
を求めよ。
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数学$\textrm{III}$ 極限(14)
$\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{(1^2+2^2+\cdots+n^2)(1^5+2^5+\cdots+n^5)}{(1^2+2^2+\cdots+n^2)(1^6+2^6+\cdots+n^6)}$
を求めよ。
福田のわかった数学〜高校２年生020〜円の極線の公式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#図形と方程式#恒等式・等式・不等式の証明#円と方程式#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$x^2+y^2=r^2$と円の内部の点$(a,b)$に対して
$ax+by=r^2$
はどんな直線を表すか説明せよ。
ただし、$(a,b)≠(0,0)$とする。
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数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$x^2+y^2=r^2$と円の内部の点$(a,b)$に対して
$ax+by=r^2$
はどんな直線を表すか説明せよ。
ただし、$(a,b)≠(0,0)$とする。
福田のわかった数学〜高校１年生020〜２次方程式の解の分離
単元：
#数Ⅰ#２次関数#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$ 2次方程式の解の分離
$x^2+2ax-2a+3=0$
が正の解をもつような
定数$a$の値の範囲を求めよ。
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数学$\textrm{I}$ 2次方程式の解の分離
$x^2+2ax-2a+3=0$
が正の解をもつような
定数$a$の値の範囲を求めよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系013〜極限(12)無限等比級数とグラフ
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 極限(13)
$x≠-1$とする。
$x+\displaystyle \frac{x}{1+x}+\displaystyle \frac{x}{(1+x)^2}+\displaystyle \frac{x}{(1+x)^3}+\cdots$
が収束する$x$の範囲を求めよ。このとき、
その和$f(x)$のグラフを描け。
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数学$\textrm{III}$ 極限(13)
$x≠-1$とする。
$x+\displaystyle \frac{x}{1+x}+\displaystyle \frac{x}{(1+x)^2}+\displaystyle \frac{x}{(1+x)^3}+\cdots$
が収束する$x$の範囲を求めよ。このとき、
その和$f(x)$のグラフを描け。
福田のわかった数学〜高校２年生019〜円の極線の公式の証明
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$x^2+y^2=r^2$ に円外の点$(a,b)$から
2本の接線を引く。
このとき2接点$P,Q$を結ぶ直線は
$ax+by=r^2$
となることを証明せよ。
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数学$\textrm{II}$ 円の方程式
円$x^2+y^2=r^2$ に円外の点$(a,b)$から
2本の接線を引く。
このとき2接点$P,Q$を結ぶ直線は
$ax+by=r^2$
となることを証明せよ。
福田のわかった数学〜高校１年生019〜２次方程式の解の分離
単元：
#数Ⅰ#２次関数#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$ 2次方程式の解の分離
$x^2+2ax-2a+3=0$ の解が全て
$-2 \lt x \lt 1$の範囲に存在するような
定数$a$の値の範囲を求めよ。
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数学$\textrm{I}$ 2次方程式の解の分離
$x^2+2ax-2a+3=0$ の解が全て
$-2 \lt x \lt 1$の範囲に存在するような
定数$a$の値の範囲を求めよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系012〜極限(12)極限関数
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\displaystyle\lim_{ n \to \infty }\displaystyle \frac{\tan^{2n+1} x-\tan^n x+1}{\tan^{2n+2} x+\tan^{2n} x+1}$
$(0 \leqq x \lt \displaystyle\frac{\pi}{2})$のグラフをかけ。
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$f(x)=\displaystyle\lim_{ n \to \infty }\displaystyle \frac{\tan^{2n+1} x-\tan^n x+1}{\tan^{2n+2} x+\tan^{2n} x+1}$
$(0 \leqq x \lt \displaystyle\frac{\pi}{2})$のグラフをかけ。
福田のわかった数学〜高校２年生018〜円の接線の公式の証明
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
円 $\ x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(a,b)$における接線は $ax +by=r^2 $
となることを証明せよ。
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円 $\ x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(a,b)$における接線は $ax +by=r^2 $
となることを証明せよ。
福田のわかった数学〜高校１年生018〜2変数関数の最大最小
単元：
#数Ⅰ#２次関数#2次関数とグラフ#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$F(x,y)=(x-y+1)^2+(y-3)^2+2,0 \leqq x \leqq 1,0 \leqq y \leqq 1$の最小値を求めよ。
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$F(x,y)=(x-y+1)^2+(y-3)^2+2,0 \leqq x \leqq 1,0 \leqq y \leqq 1$の最小値を求めよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系011〜極限(10)極限関数
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{1}{n}\displaystyle\sqrt[n]{{}_{2n}\mathrm{P}_{n}}$を求めよ。
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$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{1}{n}\displaystyle\sqrt[n]{{}_{2n}\mathrm{P}_{n}}$を求めよ。