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複雑な豆電球回路の合成抵抗と流れる電流の考え方を徹底解説！

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豆電球回路の解き方　第３回（全４回）並列編

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大問1：小問集合
(1)$(a+3{)}^3$を展開せよ。
(2)${\displaystyle \frac{x-3}{x^2+x}}+{\displaystyle \frac{x+9}{x^2+3x}}$を計算せよ。
(3)2次関数$y=x^2+2x(-2\leqq x\leqq 2)$における最大値をM、最小値をmとして、M-mを求めよ。
(4)iを虚数単位とする。${\displaystyle \frac{7+3i}{1+i}}$をa+bi (a,bは実数の形で表せ。 )
(5)$0°\leqq \theta <180°、\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき、$\sin \theta \mathrm{・}\cos \theta$と$\cos \theta -\sin \theta$を求めよ。
(6)異なる5冊の本をAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない人がいてもよいな らば、分け方は何通りか。 また、区別のつかない5冊のノートをAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない 人がいてもよいならば、分け方は何通りか。

大問2-1：2次関数
実数xについての2つの不等式 $a{x}^2+2ax-2a+1\leqq 0$・・・①
$|x-2|\leqq 1$・・・② がある。
ただし、aは0でない実数の定数とする。
(1)$a=-1$のとき、①を解け。
(2)②を解け。
(3)②を満たすすべてのxが①を満たすようなaの値の範囲を求めよ。

大問2-2：図形と計量
三角形ABCにおいて、$AB=7、BC=8、CA=3$とする。
(1)$\cos \mathrm{\angle }BAC$の値を求めよ。
(2)三角形ABCの面積を求めよ。
(3)三角形ABCの外接円において、点Aを含まない方の弧BC上に、$\sin \mathrm{\angle }BCP:\sin \mathrm{\angle }CBP=1:3$となるように点Pをとる。
このとき、線分BPの長さと四角形 ABPCの面積を求めよ。

大問3：確率
袋の中に、当たりくじ6本と、はずれくじ4本の合計10本のくじが入っている。
袋 からくじを引くときは、1回につき同時に2本のくじを引くものとし、2本とも当 たりくじを引くことを「大当り」と呼ぶこととする。
(1)袋からくじを1回引くとき、「大当り」となる確率を求めよ。
(2)A,B,C,Dの4人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじはす べて毎回袋に戻す。
(i)4人とも、「大当り」とならない確率を求めよ。
(ii)4人のうち1人だけが「大当り」となる確率を求めよ。
(iii)2人以上が続けて「大当り」とならない確率を求めよ。
(3)A,B,C,D,Eの5人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじは すべて袋に戻さない。このとき、5人のうち2人だけが「大当り」となる確率を求めよ。

大問4：整数の性質
(1)x,zは0以上の整数とする。
(i)$z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$について、$2^z$を7で割ったときの余りを順に書き 並べよ。ただし、2⁰=1とする。
(ii)x,zは等式 $7x=2^z+3$・・・① を満たしている。$0\leqq z\leqq 10$のとき、等式①を満たすx,zの組(x,z)をすべて求めよ。
(2)0以上の整数x,y,zが、等式 $(4x+3y)(x-y)=2^z$・・・② を満たしている。
(i)xが奇数、yが偶数、z=5のとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)をすべて求めよ。
(ii)xが奇数、yが偶数、0≦z≦20のとき、等式②を満たすx,y,zの組(x,y,z)の個数 を求めよ。
(iii)z=100で、xとyは偶奇を問わないとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)の個数 を求めよ。

大問5：式と証明、複素数と方程式
aを実数の定数とする。xの3次式 $P(x)=x^3+3x^2+3x+a$ があり、$P(-2)=0$を満たす。
(1)aの値を求めよ。
(2)方程式$P(x)=0$を解け。
(3)方程式$P(x)=0$の虚数解のうち、虚部が正であるものを$\alpha$、虚部が負であるもの を$\beta$と表す。また、方程式$P(x)=0$の実数解を$\gamma$と表す。さらに、$A=\alpha +1、B=\beta +1、C=\gamma +1$とする。
(i)$A^2+B^2、A^3、B^3$の3つの値をそれぞれ求めよ。
(ii)nを2020以下の正の整数とする。$A^n+B^n+C^n=0$を満たすnの個数を求めよ。

大問6：三角関数
$\theta$の関数 $f(\theta )={\displaystyle \frac{1}{2\sin 2\theta }}-\sqrt{2}k\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+k^2$ がある。ただし、kは正の定数である。
(1)$\sin 2\theta ,\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$のそれぞれを$\sin \theta 、\cos \theta$を用いて表せ。
(2)(i)f($\theta$)を$(\sin \theta -p)(\cos \theta -q)$(p,qは定数)の形で表せ。$(ii)k={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$のとき、方程式$f(\theta )=0$を$0\leqq \theta <2\pi$において解け。
(3)θの方程式$f(\theta )=0$が$0\leqq \theta <2\pi$において相異なる4個の解をもつようなkの値の範 囲を求めよ。
(4)(3)のとき、θの方程式$f(\theta )=0$の$0\leqq \theta <2\pi$における最小の解を$\alpha$、最大の解を$\beta$と する。$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$となるようなkの値を求めよ。

大問7：ベクトル
三角形OABがあり、$OA=2,OB=1,\mathrm{\angle }AOB=120°$である。辺OAの中点をCとし、線分ABを1:2に内分する点をDとする。また$OB=a,OB=b$とする
(1)OC、ODをそれぞれa,bを用いて表せ。また、内積a・bの値を求めよ。
(2)$OH=kOD$(kは実数)と表される点Hがある。$CT\perp OD$となるとき、kの値を求め、OHをa,bを用いて表せ。
(3)直線ODに関して点Cと対称な点をEとする。OEをa,bを用いて表せ。
(4)直線AB上にAと異なる点Pを$\mathrm{\angle }AOD=\mathrm{\angle }POD$となるようにとる。OPをa,bを用いて表せ。

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$\theta$の関数。 $f(\theta )={\displaystyle \frac{1}{2\sin 2\theta }}-\sqrt{2}k\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+k^2$ がある。ただし、kは正の定数である。
(1)$\sin 2\theta ,\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$のそれぞれをsinθ、cosθを用いて表せ。
(2)(i)$f(\theta )$を$(\sin \theta -p)(\cos \theta -q)$ (p,qは定数)の形で表せ。 $(ii)k={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$のとき、方程式$f(\theta )=0$を$0\leqq \theta <2\pi$において解け。
(3)$\theta$の方程式$f(\theta )=0$が$0\leqq \theta <2\pi$において相異なる4個の解をもつようなkの値の範 囲を求めよ。
(4)(3)のとき、$\theta$の方程式$f(\theta )=0$の$0\leqq \theta <2\pi$における最小の解を$\alpha$、最大の解を$\beta$と する。$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$となるようなkの値を求めよ。

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aを実数の定数とする。xの3次式 $P(x)=x^3+3x^2+3x+a$ があり、$P(-2)=0$を満たす。
(1)aの値を求めよ。
(2)方程式$P(x)=0$を解け。
(3)方程式$P(x)=0$の虚数解のうち、虚部が正であるものを$\alpha$、虚部が負であるもの を$\beta$と表す。また、方程式$P(x)=0$の実数解を$\gamma$と表す。さらに、$A=\alpha +1、B=\beta +1、C=\gamma +1$とする。
(i)$A^2+B^2、A^3、B^3$の3つの値をそれぞれ求めよ。
(ii)nを2020以下の正の整数とする。$A^n+B^n+C^n=0$を満たすnの個数を求めよ。

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(1)x,zは0以上の整数とする。
(i)$z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$について、$2^z$を7で割ったときの余りを順に書き 並べよ。ただし、$2^0=1$とする。
(ii)x,zは等式$7x=2^z+3$・・・① を満たしている。$0\leqq z\leqq 10$のとき、等式①を満たすx,zの組(x,z)をすべて求めよ。
(2)0以上の整数x,y,zが、等式 $(4x+3y)(x-y)=2^z$・・・② を満たしている。
(i)xが奇数、yが偶数、$z=5$のとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)をすべて求めよ。
(ii)xが奇数、yが偶数、$0\leqq z\leqq 20$のとき、等式②を満たすx,y,zの組(x,y,z)の個数 を求めよ。
(iii)$z=100$で、xとyは偶奇を問わないとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)の個数 を求めよ。

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豆電球回路の解き方　第２回（全４回）直列編を解説していきます.

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豆電球回路の解き方　第１回（全４回）手順編

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xy平面上の放物線$y=x^2$上の３点P,Q,Rが次の条件をみたしている。
△PQRは一辺の長さがaの正三角形であり、点P,Qを通る直線の傾きは$\sqrt{2}$である。
このとき、aの値を求めよ。

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２つの放物線
$y=2\sqrt{3}(x-\cos \theta {)}^2+\sin \theta , y=-2\sqrt{3}(x+\cos \theta {)}^2-\sin \theta$　
が相異なる２点で交わるような一般角$\theta$の範囲を求めよ。

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袋の中に、当たりくじ6本と、はずれくじ4本の合計10本のくじが入っている。
袋 からくじを引くときは、1回につき同時に2本のくじを引くものとし、2本とも当 たりくじを引くことを「大当り」と呼ぶこととする。
(1)袋からくじを1回引くとき、「大当り」となる確率を求めよ。
(2)A,B,C,Dの4人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじはす べて毎回袋に戻す。
(i)4人とも、「大当り」とならない確率を求めよ。
(ii)4人のうち1人だけが「大当り」となる確率を求めよ。
(iii)2人以上が続けて「大当り」とならない確率を求めよ。
(3)A,B,C,D,Eの5人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじは すべて袋に戻さない。このとき、5人のうち2人だけが「大当り」となる確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
三角形ABCにおいて、$AB=7、BC=8、CA=3$とする。
(1)$\cos \mathrm{\angle }BAC$の値を求めよ。
(2)三角形ABCの面積を求めよ。
(3)三角形ABCの外接円において、点Aを含まない方の弧BC上に、$\sin \mathrm{\angle }BCP:\sin \mathrm{\angle }CBP=1:3$となるように点Pをとる。
このとき、線分BPの長さと四角形 ABPCの面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
実数xについての2つの不等式$a{x}^2+2ax-2a+1\leqq 0$・・・①
$|x-2|\leqq 1$・・・② がある。
ただし、aは0でない実数の定数とする。
(1)$a=-1$のとき、①を解け。
(2)②を解け。
(3)②を満たすすべてのxが①を満たすようなaの値の範囲を求めよ。

問題文全文(内容文)：
(1)$(a+3{)}^3$を展開せよ。
(2)${\displaystyle \frac{x-3}{x²+x}}+{\displaystyle \frac{x+9}{x^2+3x}}$を計算せよ。
(3)2次関数$y=x^2+2x(-2\leqq x\leqq 2)$における最大値をM、最小値をmとして、$M-m$を求めよ。
(4)iを虚数単位とする。${\displaystyle \frac{7+3i}{1+i}}$を$a+bi$ (a,bは実数の形で表せ。 )
(5)$0°\leqq \theta <180°、\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき、$\sin \theta \mathrm{・}\cos \theta$と$\cos \theta -\sin \theta$を求めよ。
(6)異なる5冊の本をAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない人がいてもよいな らば、分け方は何通りか。 また、区別のつかない5冊のノートをAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない 人がいてもよいならば、分け方は何通りか。

問題文全文(内容文)：
ある2桁の自然数がある。
その自然数は１の位の4倍の数より22大きく、10の位と1の位を入れ替えてできる数は元の自然数より18大きい。
元の自然数はいくつか。【連立方程式】

問題文全文(内容文)：
商品Aと商品Bの仕入れ値の比は45：44である。
また商品Aには20％、商品Bには25％の利益を見込んで定価をつけると、商品Aは商品Bよりも定価が200円安くなった。
この時の商品ABの仕入れ値を求めよ。【連立方程式】

問題文全文(内容文)：
『電磁石のN・S極』は、電流の向きと指先の向きを合わせて、親指の方向を見れば大丈夫！
結論を見たければ2:45にジャンプ！

問題文全文(内容文)：
aが全ての実数を動くとき、$y=x^2+a{x}^a$が通りうる(x,y)全体の領域を図示せよ。
頭の中でグラフを動かそう！

問題文全文(内容文)：
aが全ての実数を動くとき、$y=x^2+a{x}^a$が通りうる(x,y)全体の領域を図示せよ。
逆像法で解きます。「存在する」ような条件をどう立てるか？？

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難関大学頻出の通過領域、文系数学でも分かる解法の裏側を説明します！概念から掴むことで問題への理解度アップ間違いなしです！

問題文全文(内容文)：
中1英語の鬼門『疑問詞疑問文の使り方』②に関して解説していきます.～後編～

問題文全文(内容文)：
中1英語の鬼門『疑問詞疑問文の使り方』②に関して解説していきます.　～前編～

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長方形ABCDの辺AD上を点Pが、辺BC上を点Qが往復します。Pは秒速2cm、Qは秒速 3cmで進みます。いま、Pは頂点Aから、Qは頂点Bから同時に出発しました。
(1)四角形ABPQの面積がはじめて長方形ABCDの面積の半分になるのは何秒後ですか。
(2)四角形ABPQがはじめて長方形になるのは何秒後ですか。

問題文全文(内容文)：
長方形ABCDがあります。2点P,Qは、それぞれA,Bを同時に出発し、長方形の周上を 時計回りにまわりつづけます。2点P,Qのはやさをそれぞれ秒速12cm,秒速15cmとします。
(1)三角形PBQがはじめて直角二等辺三角形になるのは、出発してから何秒後ですか。
(2)四角形PBCQがはじめて長方形になるのは、出発してから何秒後ですか。

問題文全文(内容文)：
『シンカンセンハカリアゲ』は【白・黒】の情報も一緒に覚えるべし！

問題文全文(内容文)：
「火成岩とは？」
「堆積岩とは？」
「深成岩と火山岩の違い」

問題文全文(内容文)：
次の連立方程式を解け。
5x-2y=3
2x-3y=21

問題文全文(内容文)：
次の連立方程式を解け。
3x-y=10
x+y=6

問題文全文(内容文)：
【高校数学　数学Ⅲ　式と曲線】
楕円の基礎について解説をします。

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プロペン、CO₂、H₂Oのそれぞれの生成熱 -20kj、394kj、286kjの時、
次の熱化学方程式の Q₁、Q₂を求めよ
C₃H₆+9/2O₂=3CO₂+3H₂0+Q₁kj C₃H₆+3/2O₂=3C+3H₂0+Q₂kj