明治大学

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題064〜明治大学2019年度理工学部第２問〜円と放物線の位置関係

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

　a,bは実数でa＞0とする。座標平面上において、円

x^{2}

+

y^{2}

=1を

C

とし、放物線y=a

x^{2}

+bを

D

とする。
(1)放物線

D

の頂点のy座標が正であり、円

C

と放物線

D

の共有点がただ一つであるとき、bの値は

あ

である。
(2)放物線

D

の頂点のy座標が負であり、円

C

と放物線

D

の共有点がただ一つであるとき、bの値は

い

であり、aの取り得る値の範囲は

う

である。
(3)放物線

D

の頂点が円

C

の内部にあり、円

C

と放物線

D

がちょうど2つの共有点をもつとき、bの取り得る値の範囲は

え

である。
(4)放物線

D

の頂点が円

C

の外部にあり、円

C

と放物線

D

がちょうど2つの共有点をもつとき、bをaの式で表すとb=

お

となり、aの取り得る値の範囲は

か

である。

2019明治大学理工学部過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題042〜明治大学2019年度理工学部第１問(3)〜定積分で表された関数

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(3)関数f(x)が等式

f (x) = π x \sin x + \frac{2 π}{\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (t) d t}

を満たすとき、

f (x) = π x \sin x - ス + \sqrt{セ}

または

f (x) = π x \sin x - ス - \sqrt{セ}

である。

2019明治大学理工学部過去問

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福田の数学〜明治大学2021年理工学部第３問〜単位ベクトルと関数の増減

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#微分法#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

　Oを原点とする座標平面上の曲線

y = \log x

を

C

とする。正の実数

t

に対し、
曲線C上の点

P (t, \log t)

におけるCの法線Lの傾きは

か

である。Lに平行な
単位ベクトル

\vec{n}

で、その

x

成分が正であるものは

\vec{n} = (き, く)

である。
さらに、

r

を正の定数とし、点Qを

\vec{O Q} = \vec{O P} + r \vec{n}

により定めると、
Qの座標は

(け, こ)

となる。ここで点Qのx座標とy座標をtの関数と見て、
それぞれ

X (t), Y (t)

とおくと

X (t), Y (t)

の導関数を成分とするベクトル

(X^{'} (t), Y^{'} (t))

はrによらないベクトル

(1, さ)

と平行であるか、零ベクトルである。
定数

r

の取り方によって関数

X (t)

の増減の様子は変わる。

X (t)

が区間

t > 0

で
常に増加するようなrの値の範囲は

し

である。また、

r = 2 \sqrt{2}

のとき、

X (t)

は
区間

す ≦ t ≦ せ

で減少し、区間

0 < t ≦ す

と区間

t ≧ せ

で増加する。

2021明治大学理工学部過去問

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福田の数学〜明治大学2021年理工学部第２問〜格子点と確率

単元： #数A#場合の数と確率#確率#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

　nを正の整数とする。座標平面上の点でx座標とy座標がともに整数であるもの
を格子点と呼ぶ。

| x | + | y | = 2 n

を満たす格子点(x,\ y)全体の集合を

D_{2 n}

とする。
(1)

D_{4}

は

あ

個の点からなる。一般に、

D_{2 n}

は

い

個の点からなる。
(2)

D_{2 n}

に属する点

(x, y)

で

| x - 2 n | + | y | = 2 n

を満たすものは全部で

う

個ある。
(3)

D_{2 n}

に属する点

(x, y)

で

| x - n | + | y - n | = 2 n

を満たすものは全部で

え

個ある。
(4)

D_{2 n}

から異なる2点

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})

を無作為に選ぶとき、

| x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} | = 2 n

が成り立つ確率は

お

である。

2021明治大学理工学部過去問

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福田の数学〜明治大学2021年理工学部第１問(4)〜定積分で表された関数と変曲点

単元： #微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#大学入試解答速報#数学#明治大学#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(4)連続関数

f (x)

は区間

x ≧ 0

で正の値をとり、区間

x > 0

で微分可能
かつ

f^{'} (x) \neq 0

であるとする。さらに、実数の定数aと関数

f (x)

が

\int_{0}^{x} 3 t^{2} f (t) d t - (x^{3} + 3) f (x) + \log f (x) = a (x ≧ 0)

を満たすとする。このとき

a = - ヌ - \log ネ

である。また、曲線

y = f (x) (x > 0)

の変曲点のx座標をpとすると

p^{3} = \frac{ノ}{ハ}

である。ただし、

\log x

は

x

の自然対数である。

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福田の数学〜明治大学2021年理工学部第１問(3)〜複素数平面と図形

単元： #数A#図形の性質#複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(3)複素数

z

と正の実数rは、等式

z^{4} = r (\cos \frac{2}{3} π + i \sin \frac{2}{3} π) \dots (*)

を満たしている。ただし、

i

は虚数単位である。

(i) z

の偏角

θ を 0 ≦ θ < 2 π

の範囲にとるとき、

θ

のとりうる値の
うち最小のものは

\frac{チ}{ツ} π

であり、最大のものは

\frac{テ}{ト} π

である。

(ii)

等式(*)と等式

| z - i | = 1

が共に成り立つとき、

r

の値は

r = ナ

または

r = ニ

である。

2021明治大学理工学部過去問

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福田の数学〜明治大学2021年理工学部第１問(2)〜三角関数の最大最小

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(2)座標平面上に2点

A (\frac{5}{8}, 0), B (0, \frac{3}{2})

をとる。Lは原点を通る直線で、Lが
x軸の正の方向となす角

θ は 0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}

の範囲にあるとする。ただし、角

θ

の
符号は時計の針の回転と逆の向きを正の方向とする。点Aと直線Lとの距離を

d_{A}

、点Bと直線Lの距離を

d_{B}

とおく。このとき、

d_{A} + d_{B} = \frac{ク}{ケ} \sin θ + \frac{コ}{サ} \cos θ

である。

θ

が

0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}

の範囲を動くとき、

d_{A} + d_{B}

の最大値は

\frac{シ ス}{セ}

であり、
最小値は

\frac{ソ}{タ}

である。

2021明治大学理工学部過去問

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福田の数学〜明治大学2021年理工学部第１問(1)〜2次方程式が整数を解にもつ条件

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#２次関数#複素数と方程式#2次方程式と2次不等式#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#解と判別式・解と係数の関係#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)

a

と

b

を正の整数とし、

f (x) = a x^{2} - b x + 4

とおく。2次方程式

f (x) = 0

は
異なる2つの実数解をもつとする。

(a)

2次方程式

f (x) = 0

の2つの解がともに整数であるとき

{\begin{matrix} a = 1 \\ b = ア \end{matrix}

　　
または　

{\begin{matrix} a = イ \\ b = ウ \end{matrix}

である。

(b) b = 7

とする。2次方程式

f (x) = 0

の2つの解のうち一方が整数であるとき、

a = エ

であり、

f (x) = 0

の2つの解は

x = エ, \frac{カ}{キ}

である。

2021明治大学理工学部過去問

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福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第４問〜極方程式と曲線で囲まれた面積

単元： #平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

座標平面の原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする極座標

(r, θ)

を考える。

k > 0

として、極方程式

r (\sqrt{\cos θ} + \sqrt{\sin θ})^{2} = k (0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

で表される曲線を

C (k)

とする。曲線

C (k)

上の点を直交座標

(x, y)

で表せばxの
とりうる値の範囲は、

ア ≦ x ≦ イ

である。
曲線

C (k)

とx軸、y軸で囲まれた図形の面積を

S (k)

とおけば、

S (k) = ウ

でなる。直交座標が

(\frac{k}{4}, \frac{k}{4})

である曲線

C (k)

上の点Aにおける曲線

C (k)

の接線l
の方程式は、

y = エ

となる。曲線

C (k)

と直線l、およびx軸で囲まれた
図形の面積を

T (k)

とおけば、

S (k) = オ T (k)

が成り立つ。

0 < m < n

を
満たす実数

m, n

に対して、

S (n) - S (m)

が

T (n)

と等しくなるのは、

\frac{m^{2}}{n^{2}} = \frac{カ}{キ}

のときである。

イ 、 ウ

の解答群

⓪ \sqrt{k} ① k ② k^{2} ③ \frac{\sqrt{2}}{2} ④ \frac{\sqrt{2}}{3}

⑤ \frac{k}{2} ⑥ \frac{k}{3} ⑦ \frac{k^{2}}{4} ⑧ \frac{k^{2}}{5} ⑨ \frac{k^{2}}{6}

エ

の解答群

⓪ x + \frac{k}{2} ① x + \frac{k}{4} ② - x + \frac{k}{2} ③ - x + \frac{k}{4} ④ 2 x - \frac{k}{2}

⑤ 2 x - \frac{k}{4} ⑥ 2 x - \frac{3 k}{4} ⑦ - 2 x + \frac{k}{2} ⑧ - 2 x + \frac{k}{4} ⑨ - 2 x + \frac{3 k}{4}

2021明治大学全統過去問

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福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第３問(2)〜面積と回転体の体積

単元： #微分とその応用#積分とその応用#接線と法線・平均値の定理#面積・体積・長さ・速度#大学入試解答速報#数学#明治大学#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

(2)曲線

y = \log x

を

C

とする。

t > e

として、C上の点

P (t, \log t)

におけるCの
接線lとx軸との交点をQ、y軸との交点をRとおく。また、

(0, \log t)

で表される
点を

S

とおく。点Qのx座標は

ウ

であり、点Rのy座標は

エ

である。
座標平面の原点をOとすると、

a > 0

のとき、線分ORと線分RSの長さの比が

a : 1

となるのは、

t = オ

のときである。したがって、三角形OQRの面積が
三角形SPRの面積の9倍となるのは、

t = カ

のときである。
曲線Cとx軸、および直線

x = カ

で囲まれた図形をy軸のまわりに一回転
させてできる回転体の体積は

キ π

となる。

ウ 、 エ

の解答群

⓪ 1 - \log t ① 1 - 2 \log t ② \log t - 1 ③ 2 \log t - 1 ④ t (1 - \log t)

⑤ t (1 - \log t) ⑥ t (\log t - 1) ⑦ t (2 \log t - 1) ⑧ 2 t (1 - \log t) ⑨ 2 t (\log t - 1)

オ

の解答群

⓪ 1 - \log t ① 1 - 2 \log t ② \log t - 1 ③ 2 \log t - 1 ④ t (1 - \log t)

⑤ t (1 - 2 \log t) ⑥ t (\log t - 1) ⑦ t (2 \log t - 1) ⑧ 2 t (1 - \log t) ⑨ 2 t (\log t - 1)

カ 、 キ

の解答群

⓪ e^{4} ① e^{8} ② \frac{e^{4} - 1}{2} ③ \frac{e^{8} - 1}{2} ④ \frac{5 e^{4} - 1}{2}

⑤ \frac{9 e^{8} - 1}{2} ⑥ \frac{3 e^{4} + 1}{2} ⑦ \frac{7 e^{8} + 1}{2} ⑧ 4 e^{8} - e^{4} + 1 ⑨ 3 e^{8} + 1

2021明治大学全統過去問

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福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第３問(1)〜定積分と極限

単元： #関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3 (1) k > 0

として、次の定積分を考える。

F (k) = \int_{0}^{1} \frac{e^{k x} - 1}{e^{k x} + 1} d x

このとき、

F (2) = \log (ア)

となる。また、

lim_{k \to \infty} F (k) = イ

である。

ア

の解答群

⓪ \frac{e + 1}{e} ① \frac{e^{2} + 1}{e} ② \frac{e^{4} + 1}{e} ③ \frac{e^{6} + 1}{e} ④ \frac{e^{8} + 1}{e}

⑤ \frac{e + 1}{2 e} ⑥ \frac{e^{2} + 1}{2 e} ⑦ \frac{e^{4} + 1}{2 e} ⑧ \frac{e^{6} + 1}{2 e} ⑨ \frac{e^{8} + 1}{2 e}

2021明治大学全統過去問

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福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第２問(2)〜２次方程式の解が同一円周上にある条件

単元： #数Ⅱ#２次関数#図形の性質#複素数平面#2次方程式と2次不等式#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#複素数平面#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

(2)方程式

x^{2} + x + 1 = 0

の2つの解を

α, β

とする。またbを実数として、
方程式

x^{2} + x + 1 = 0

の2つの解を

γ, δ

とする。複素数平面上で、4点

A (α),

B (β), C (γ), D (δ)

が同じ円上にあるとき、bの値は

\pm \frac{\sqrt{キ}}{ク}

となる。

2021明治大学全統過去問

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福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第２問(1)〜楕円と複素数平面

単元： #平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#2次曲線#複素数平面#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

(1)座標平面において、点

(- 1, 0)

からの距離と点

(1, 0)

からの距離の和が4
である点は方程式

\frac{x^{2}}{ア} + \frac{y^{2}}{イ} = 1

で表される曲線C上にある。点

(x, y)

が曲線C上を動くとき、点

(x, y)

と点

(- 1, 0)

の距離をdとおけば、dの最小値
は

ウ

、最大値は

エ

となる。複素数

z

が

| z | + | z - 4 | = 8

を満たすとき、

| z |

のとりうる範囲は

オ ≦ | z | ≦ カ

である。

2021明治大学全統過去問

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福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第１問〜関数の増減と面積

単元： #微分とその応用#積分とその応用#微分法#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

関数

f (x) = \frac{1}{2} (x + \sqrt{2 - 3 x^{2}})

の定義域は

- \frac{\sqrt{ア}}{イ} ≦ x ≦ \frac{\sqrt{ウ}}{エ}

であり、

f (x)

は

x = \frac{\sqrt{オ}}{カ}

のとき、
最大値

\frac{\sqrt{キ}}{ク}

をとる。曲線

y = f (x)

、

直線

y = 2 x

およびy軸で囲まれた図形の面積は

ケ

となる。

ケ

の解答群

⓪ \frac{\sqrt{3}}{18} π ① \frac{\sqrt{3}}{36} π ② \frac{\sqrt{3}}{72} π ③ \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3}}{36} π ④ \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{3}}{36} π

⑤ \frac{5}{24} + \frac{\sqrt{3}}{36} π ⑥ \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{18} π ⑦ \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3}}{18} π ⑧ \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3}}{18} π ⑨ \frac{7}{24} + \frac{\sqrt{3}}{18} π

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福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試IⅡAB第３問〜平面幾何とベクトル

単元： #数A#図形の性質#平面上のベクトル#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

辺の長さが2である正六角形ABCDEFがあり、点O,P,Qは次の条件を満たす。
・点Oは辺AB上にある。
・点Pは正六角形ABCDFの内部にある。
・点Qは線分CP上にある。
・三角形OCPと三角形OQFは共に正三角形である。

(1)四角形OQPFに着目すると、

∠ O F Q = ∠ O P Q

より、
OQPFは円に内接する四角形なので、

∠ O P F = ア イ °

とわかる。

(2)

A B / / F C

に着目すると、

△ O C F = ウ \sqrt{エ}

である。

O C / / F P

であることに着目すると、

△ O C P = △ O C F

なので、

O C^{2} = オ

とわかる。
また、

O B = \sqrt{カ} - キ

である。

(3)

O Q^{2} = O F^{2} = ク ケ - コ \sqrt{サ}

であり、

\vec{O Q} = t \vec{O P} + (1 - t) \vec{O C}

とおくと、

t

は

t^{2} - t + \sqrt{シ} - ス = 0

を満たす。

2021明治大学全統過去問

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福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試IⅡAB第２問〜2つのグラフの共有点の個数と面積

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#２次関数#2次関数とグラフ#微分法と積分法#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

a, k

を実数とし、xの関数

f (x), g (x)

を次のようにする。

f (x) = x^{3} - a x, g (x) = | x | + k

(1)

a = 4, k = 0

のとき、曲線

y = f (x)

と

y = g (x)

は3個の異なる共有点をもつ。
それぞれの交点のx座標は

- \sqrt{ア}, 0, \sqrt{イ}

である。

(2)

k = 0

のとき、曲線

y = f (x)

と

y = g (x)

がちょうど2個の異なる共有点をもつ
aの範囲は

ウ

かつ

エ

である。

(3)

a = 4

のとき、曲線

y = f (x)

と

y = g (x)

が3個の異なる共有点をもつkの範囲は

- \frac{オ カ \sqrt{キ ク}}{ケ} < k < コ

である。

(4)

a = 4, k = コ

のとき、曲線

y = f (x)

と

y = g (x)

の共有点のx座標は

- サ

と

シ + \sqrt{ス}

であり、

y = f (x)

と

y = g (x)

で囲まれる図形の面積は

セ + ソ \sqrt{タ}

である。

ウ

の解答群

⓪ - 2 < a ① - 2 ≦ a ② - 1 < a ③ - 1 ≦ a ④ 0 < a

⑤ 0 ≦ a ⑥ 1 < a ⑦ 1 ≦ a ⑧ 2 < a ⑨ 2 ≦ a

エ

の解答群

⓪ a < - 2 ① a ≦ - 2 ② a < - 1 ③ a ≦ - 1 ④ a < 0

⑤ a ≦ 0 ⑥ a < 1 ⑦ a ≦ 1 ⑧ a < 2 ⑨ a ≦ 2

2021明治大学全統過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題064〜明治大学2019年度理工学部第２問〜円と放物線の位置関係

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題042〜明治大学2019年度理工学部第１問(3)〜定積分で表された関数

福田の数学〜明治大学2021年理工学部第３問〜単位ベクトルと関数の増減

福田の数学〜明治大学2021年理工学部第２問〜格子点と確率

福田の数学〜明治大学2021年理工学部第１問(4)〜定積分で表された関数と変曲点

福田の数学〜明治大学2021年理工学部第１問(3)〜複素数平面と図形

福田の数学〜明治大学2021年理工学部第１問(2)〜三角関数の最大最小

福田の数学〜明治大学2021年理工学部第１問(1)〜2次方程式が整数を解にもつ条件

福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第４問〜極方程式と曲線で囲まれた面積

福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第３問(2)〜面積と回転体の体積

福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第３問(1)〜定積分と極限

福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第２問(2)〜２次方程式の解が同一円周上にある条件

福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第２問(1)〜楕円と複素数平面

福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第１問〜関数の増減と面積

福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試IⅡAB第３問〜平面幾何とベクトル

福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試IⅡAB第２問〜2つのグラフの共有点の個数と面積