問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$自然数$a$を3で割った余りを$r(r=0,1,2)$とする.以下の問いに答えよ.
(1)以下を求めよ.
(ア)$r=0$のとき,$a^3+4$を3で割った余り
(イ)$r=1$のとき,$a^3+4$を3で割った余り
(ウ)$r=2$のとき,$a^3+4$を3で割った余り

(2)3つの自然数$a,a^3+4,a^5+8$のうちいずれか1つは3の倍数であることを示せ.

(3)3つの自然数$a,a^3+4,a^5+8$が同時に素数となる$a$をすべて求めよ.

2021中央大理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$コインを繰り返し,連続した3回が順に,表→裏→表,あるいは,裏→表→裏,というパターンが出たときにコイン投げを終了する.$n\geqq 3$に対し,コインをちょうど$n$回投げて終了する確率を$p_n$とする.
以下の手順により$p_n$を求める.コインを$n$回投げて,「まだ終了していないが$n+1$回目に表が出たら終了する」または「まだ終了してないが$n+1$回目に裏が出たら終了する.」という状態にある確率を$r_n$とする.またコインを$n$回投げて「まだ終了しておらず,$n+1$回目に表が出ても裏が出ても終了しない」という状態にある確率を$s_n$とする.
このとき,$r_3=\dfrac{1}{4},s_3=\boxed{ク},r_4=\dfrac{1}{4},s_4=\boxed{ケ}$である.
ここで,$r_{n+4}$と$r_{n},s_n$を用いて表すと,それぞれ$r_{n+1}=\boxed{コ},s_{n+1}=\boxed{サ}＄となる.

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　放物線C:y=x^2上の点(a,\ a^2)　(a \gt 0)における法線lの方程式をy=f(x)\\
とおくと、f(x)=\boxed{\ \ ア\ \ }となる。またCとlの交点のうちPと異なる方の点Qを\\
求めると、Q(\boxed{\ \ イ\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ }^2)となる。以下、Cとlで囲まれた部分をDとし、\\
Dをlの周りに1回転して得られる回転体の体積V(a)を求める。Dに含まれるl上\\
の点をR(t,\ f(t))　(\boxed{\ \ イ\ \ } \leqq t \leqq a)とおく。Rを通りlに垂直な直線は\\
y=2a(x-t)+f(t)で与えられる。この直線とy=x^2の2つの交点のうち\\
Dに含まれる方の点Sのx座標はx=a-\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t}\ となる。このとき\\
線分RSの長さr=g(t)はg(t)=\boxed{\ \ エ\ \ }(t-a+\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t})となる。\\
線分QRの長さs=h(t)はh(t)=\boxed{\ \ オ\ \ }(t-\boxed{\ \ イ\ \ })で与えられるので、\\
V(a)=\pi\int_0^{h(a)}r^2ds=\pi\int_{\boxed{イ}}^a\left\{g(t)\right\}^2h'(t)dt\\
=\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_{\boxed{イ}}^a(a-t)(-\sqrt{a-t}+\boxed{\ \ ウ\ \ })^2dt\\
となる。ここでu=\sqrt{a-t}とおいて置換積分を行えば\\
V(a)=2\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_0^{\boxed{ウ}}\left\{u^5-2\boxed{\ \ ウ\ \ }u^4+(\boxed{\ \ ウ\ \ })^2u^3\right\}du=\boxed{\ \ カ\ \ }\\
が求まる。さらに、a \gt 0の範囲でaを動かすとき、\lim_{a \to +0}V(a)=\lim_{a \to \infty}V(a)=\infty\\
であり、V(a)を最小にするaの値はa=\boxed{\ \ キ\ \ }である。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ア\ \ }\ の解答群\\
ⓐ-\frac{2}{a}(x-a)+a^2　ⓑ-\frac{1}{a}(x-a)+a^2　ⓒ-\frac{1}{2a}(x-a)+a^2　ⓓ-2a(x-a)+a^2\\
\\
\\
\boxed{\ \ イ\ \ }～\ \boxed{\ \ オ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ-\frac{a^2-1}{a}　ⓑ-\frac{2a^2-1}{2a}　ⓒ-\frac{a^2+1}{a}　ⓓ-\frac{2a^2+1}{2a}\\
ⓔ\frac{\sqrt{a^2+4}}{2}　ⓕ\sqrt{a^2+1}　ⓖ\sqrt{4a^2+1}　ⓗ2a\\
ⓘ\frac{\sqrt{4a^2+1}}{2a}　ⓙ\frac{\sqrt{a^2+4}}{a}　ⓚ\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}　ⓛ\frac{\sqrt{a^2+1}}{2a}\\
ⓜ\sqrt{\frac{2a^2+1}{2a}}　ⓝ\sqrt{\frac{4a^2+1}{2a}}　ⓞ\sqrt{\frac{2a^2+1}{a}}　ⓟ\sqrt{\frac{4a^2+1}{a}}\\
\\
\\
\boxed{\ \ カ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ\frac{(2a^2+1)^3(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi　ⓑ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{120a^4}\ \pi　ⓒ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi\\
ⓓ\frac{(2a^2+1)^3(4a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi　ⓔ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{480a^4}\ \pi　ⓕ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi\\
ⓖ\frac{(a^2+1)^2(4a^2+1)^2}{120a^{\frac{7}{2}}}\ \pi　ⓗ\frac{(4a^2+1)^4}{480\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi　ⓘ\frac{(4a^2+1)^4}{120\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi\\
\\
\\
\boxed{\ \ キ\ \ }\ の解答群\\
ⓐ\frac{1}{\sqrt5}　ⓑ\frac{1}{\sqrt2}　ⓒ1　ⓓ\sqrt2　ⓔ\frac{2}{\sqrt5}　ⓕ4
\end{eqnarray}

2021中央大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$[log_2(x+50)]=[log_2x]+3$を満たす$x$の範囲を求めよ

出典：2015年中央大学法学部　過去問

問題文全文(内容文)：
1つの内角の比が$4:5$となる正多角形の組を求めよ

出典：2001年中央大学法学部　過去問