大学入試過去問(数学)
大学入試過去問(数学)
福田の数学〜東北大学2025文系第4問〜2曲線で囲まれた2つの図形の面積が等しくなる条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$k$を正の実数とする。
曲線$y=x(x-2)^2$と
放物線$y=kx^2$で囲まれた$2$つの
部分の面積が等しくなるような
$k$の値を求めよ。
$2025$年東北大学文系過去問題
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$\boxed{4}$
$k$を正の実数とする。
曲線$y=x(x-2)^2$と
放物線$y=kx^2$で囲まれた$2$つの
部分の面積が等しくなるような
$k$の値を求めよ。
$2025$年東北大学文系過去問題
藤川天が東大理三に受かった塾講師役【これが新バイトだったのか】
単元：
#大学入試過去問(数学)#物理#学校別大学入試過去問解説(数学)#大学入試過去問(物理)#英語(高校生)#大学入試過去問(英語)#学校別大学入試過去問解説(英語)#東京大学#数学(高校生)#理科(高校生)#東京大学#東京大学
指導講師：
Morite2 English Channel
問題文全文(内容文)：
「東大理三の塾講師役」隠された真の目的が判明！
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「東大理三の塾講師役」隠された真の目的が判明！
福田の数学〜東北大学2025文系第3問〜四面体を拡張した四角錐の位置ベクトル
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
四面体$OABC$において、
$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$とする。
点$D$は
$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$を満たすとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)四面体$OABC$の体積を$V$とするとき、
四角錐$OABDC$の体積を$V$を用いて表せ。
(2)$\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$で表せ。
(3)線分$AD$と線分$BC$の交点を$P$とするとき、
$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ。
(4)四面体$OABC$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとき、
線分$OD$の長さを求めよ。
$2025$年東北大学文系過去問題
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$\boxed{3}$
四面体$OABC$において、
$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$とする。
点$D$は
$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$を満たすとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)四面体$OABC$の体積を$V$とするとき、
四角錐$OABDC$の体積を$V$を用いて表せ。
(2)$\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$で表せ。
(3)線分$AD$と線分$BC$の交点を$P$とするとき、
$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ。
(4)四面体$OABC$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとき、
線分$OD$の長さを求めよ。
$2025$年東北大学文系過去問題
福田の数学〜東北大学2025理系第6問〜2つの正五角形の重なった図形の周の長さの最小値
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{6}$
$1$辺の長さが$1$の正五角形を$K$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$K$の対角線の長さを求めよ。
(2)$K$の周で囲まれた図形を$P$とする。
また、$P$を$K$の外接円の中心の周りに
角$\theta$だけ回転して得られる図形を$P_{\theta}$とする。
$P$と$P_{\theta}$の共通部分の周の長さを
$\ell_{\theta}$とする。
$\theta$が$0°\lt 72°$の範囲を動くとき、
$\ell_{\theta}$の最小値が$2\sqrt5$であることを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{6}$
$1$辺の長さが$1$の正五角形を$K$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$K$の対角線の長さを求めよ。
(2)$K$の周で囲まれた図形を$P$とする。
また、$P$を$K$の外接円の中心の周りに
角$\theta$だけ回転して得られる図形を$P_{\theta}$とする。
$P$と$P_{\theta}$の共通部分の周の長さを
$\ell_{\theta}$とする。
$\theta$が$0°\lt 72°$の範囲を動くとき、
$\ell_{\theta}$の最小値が$2\sqrt5$であることを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
【速報】東京大学が新学部を設立 #shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#英語(高校生)#大学入試過去問(英語)#学校別大学入試過去問解説(英語)#東京大学#数学(高校生)#東京大学
指導講師：
Morite2 English Channel
問題文全文(内容文)：
【東大速報】70年ぶり！2027年秋に**新学部「College of Design」**を設立！全寮制・授業は全て英語・初の外国人学部長が誕生
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【東大速報】70年ぶり！2027年秋に**新学部「College of Design」**を設立！全寮制・授業は全て英語・初の外国人学部長が誕生
福田の数学〜東北大学2025理系第5問〜球面上の点と軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$S$を$xyz$空間内の原点$O(0,0,0)$を中心とする
半径$1$の球面とする。
また、点$P(a,b,c)$を
点$(0,0,1)$とは異なる球面$S$上の点とする。
点$P$と点$N$を通る直線$\ell$と$xy$平面との
交点を$Q$とおく。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)点$Q$の座標を$a,b,c$を用いて表せ。
(2)$xy$平面上の点$(p,q,0)$と点$N$を通る直線を
$m$とする。
直線$m$と球面$S$の交点のうち、
点$N$以外の交点の座標を$p,q$を用いて表せ。
(3)点$\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、
ベクトル$(3,4,5)$に直交する
平面$\alpha$を考える。
点$P$が平面$\alpha$ト球面$S$との交わりを動くとき、
点$Q$は$xy$平面上の円周上を動くことを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{5}$
$S$を$xyz$空間内の原点$O(0,0,0)$を中心とする
半径$1$の球面とする。
また、点$P(a,b,c)$を
点$(0,0,1)$とは異なる球面$S$上の点とする。
点$P$と点$N$を通る直線$\ell$と$xy$平面との
交点を$Q$とおく。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)点$Q$の座標を$a,b,c$を用いて表せ。
(2)$xy$平面上の点$(p,q,0)$と点$N$を通る直線を
$m$とする。
直線$m$と球面$S$の交点のうち、
点$N$以外の交点の座標を$p,q$を用いて表せ。
(3)点$\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、
ベクトル$(3,4,5)$に直交する
平面$\alpha$を考える。
点$P$が平面$\alpha$ト球面$S$との交わりを動くとき、
点$Q$は$xy$平面上の円周上を動くことを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田の数学〜東北大学2025理系第4問〜2曲線の相接と面積の極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田の数学〜東北大学2025理系第3問〜4次関数が極大値をもつ条件
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$a$を実数とし、関数$f(x)$を次のように定める。
$f(x)=x^4+\dfrac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)関数$f(x)$が極大値をもつような$a$のとり得る
値の範囲を求めよ。
(2)関数$f(x)$が$x=0$で極大値をもつような
$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
$a$を実数とし、関数$f(x)$を次のように定める。
$f(x)=x^4+\dfrac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)関数$f(x)$が極大値をもつような$a$のとり得る
値の範囲を求めよ。
(2)関数$f(x)$が$x=0$で極大値をもつような
$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田の数学〜東北大学2025理系第2問〜漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
正の実数からなる$2$つの数列$\{x_n\},\{y_n\}$を
次のように定める。
$x_1=2,y_1=\dfrac{1}{2},x_{n+1}=(y_n)^5･(y_n)^2,$
$ \hspace{ 80pt } y_{n+1}=x_n･(y_n)^6$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$k$を実数とする。
$a_n=\log_2 x_n,b_n=\log_2 y_n$とおく。
このとき、$\{a_n+kb_n\}$が等位数列になるような
$k$の値をすべて求めよ。
(2)数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{2}$
正の実数からなる$2$つの数列$\{x_n\},\{y_n\}$を
次のように定める。
$x_1=2,y_1=\dfrac{1}{2},x_{n+1}=(y_n)^5･(y_n)^2,$
$ \hspace{ 80pt } y_{n+1}=x_n･(y_n)^6$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$k$を実数とする。
$a_n=\log_2 x_n,b_n=\log_2 y_n$とおく。
このとき、$\{a_n+kb_n\}$が等位数列になるような
$k$の値をすべて求めよ。
(2)数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田の数学〜東北大学2025理系第1問〜反復試行の確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
原点を出発点として数直線上を動く点$P$がある。
試行(＊)を次のように定める。
(＊)
$1$枚の硬貨を$1$回投げて、
・表が出た場合は点$P$を正の向きに$1$だけ進める。
・裏が出た場合は$1$個のさいころを$1$回投げ、
奇数の目が出た場合は点$P$を正の向きに$1$だけ進める
偶数の目が出た場合は点$P$を負の向きに$2$だけ進める
ただし、硬貨を投げたとき裏表の出る確率は
それぞれ$\dfrac{1}{2}$,さいころを投げたとき
$1$から$6$までの整数の目の出る確率は
それぞれ$\dfrac{1}{6}$とする。
(1)試行(＊)を$3$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
(2)試行(＊)を$6$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
(3)$n$を$3$で割り切れない正の整数とする。
試行(＊)を$n$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
原点を出発点として数直線上を動く点$P$がある。
試行(＊)を次のように定める。
(＊)
$1$枚の硬貨を$1$回投げて、
・表が出た場合は点$P$を正の向きに$1$だけ進める。
・裏が出た場合は$1$個のさいころを$1$回投げ、
奇数の目が出た場合は点$P$を正の向きに$1$だけ進める
偶数の目が出た場合は点$P$を負の向きに$2$だけ進める
ただし、硬貨を投げたとき裏表の出る確率は
それぞれ$\dfrac{1}{2}$,さいころを投げたとき
$1$から$6$までの整数の目の出る確率は
それぞれ$\dfrac{1}{6}$とする。
(1)試行(＊)を$3$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
(2)試行(＊)を$6$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
(3)$n$を$3$で割り切れない正の整数とする。
試行(＊)を$n$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田の数学〜北海道大学2025文系第4問〜関数方程式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
関数$f(x)$は、
すべての実数$x$およびすべての整数$n$について
$f(nx)={f(x)}^n$を満たし、
さらに$f(1)=2$を満たすとする。
ただし、$f(x)$のとりうる値は$0$でない実数とする。
(1)$f(n) \leqq 100$となるような最大の整数$n$を求めよ。
(2)すべての実数$x$について
$f(x)\gt 0$であることを証明せよ。
(3)$f(0.25)$を求めよ。
(4)$a$が有理数のとき、$f(a)$を$a$で表せ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
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$\boxed{4}$
関数$f(x)$は、
すべての実数$x$およびすべての整数$n$について
$f(nx)={f(x)}^n$を満たし、
さらに$f(1)=2$を満たすとする。
ただし、$f(x)$のとりうる値は$0$でない実数とする。
(1)$f(n) \leqq 100$となるような最大の整数$n$を求めよ。
(2)すべての実数$x$について
$f(x)\gt 0$であることを証明せよ。
(3)$f(0.25)$を求めよ。
(4)$a$が有理数のとき、$f(a)$を$a$で表せ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
福田の数学〜北海道大学2025文系第3問〜3項間漸化式と数列の和
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
数列$\{a_n\}$を次のように定める。
$a_1=1,a_2=3,$
$(n+1)a_{n+2}-(2n+3)a_{n+1}+(n+2)a_n=0$
$\qquad (n=1,2,3,･･････)$
(1)$b_n=a_{n-1}-a_n$とおくと、
$b_{n+1}=\dfrac{n+2}{n+1}b_n \quad (n=1,2,3,･･････)$
が成り立つことを示せ。
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{225}\dfrac{1}{a_n}$の値を求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
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$\boxed{3}$
数列$\{a_n\}$を次のように定める。
$a_1=1,a_2=3,$
$(n+1)a_{n+2}-(2n+3)a_{n+1}+(n+2)a_n=0$
$\qquad (n=1,2,3,･･････)$
(1)$b_n=a_{n-1}-a_n$とおくと、
$b_{n+1}=\dfrac{n+2}{n+1}b_n \quad (n=1,2,3,･･････)$
が成り立つことを示せ。
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{225}\dfrac{1}{a_n}$の値を求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
福田の数学〜北海道大学2025文系第2問〜数え上げと余弦定理
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
整数$a,b,c$は条件
$2\leqq a \lt b \lt c \leqq 6$を満たすとする。
(1)不等式$a+b\gt c$を満たすような
$(a+b+c)$をすべて挙げよ。
(2)不等式$a^2+b^2\geqq c^2$を満たすような
$(a+b+c)$をすべて挙げよ。
(3) (2)で求めた$(a,b,c)$について、
頂点$A,B,C$と向かい合う辺の長さがそれぞれ
$a,b,c$で与えられる$\triangle ABC$を考える。
このようなすべての$\triangle ABC$について
$\cos \angle ACB$を求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
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$\boxed{2}$
整数$a,b,c$は条件
$2\leqq a \lt b \lt c \leqq 6$を満たすとする。
(1)不等式$a+b\gt c$を満たすような
$(a+b+c)$をすべて挙げよ。
(2)不等式$a^2+b^2\geqq c^2$を満たすような
$(a+b+c)$をすべて挙げよ。
(3) (2)で求めた$(a,b,c)$について、
頂点$A,B,C$と向かい合う辺の長さがそれぞれ
$a,b,c$で与えられる$\triangle ABC$を考える。
このようなすべての$\triangle ABC$について
$\cos \angle ACB$を求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
福田の数学〜北海道大学2025文系第1問〜関数の増減と接線の方程式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
関数$f(x)=x^3-6x^2-15x+30$について考える。
$y=f(x)$のグラフを$C$とおく。
(1)$f(x)$が極大値、
極小値をとるような$x$をそれぞれ求め、
$f(x)$の極大値、極小値を求めよ。
(2)$C$上の点$(-3,-6)$を通り、
$C$に接する直線の方程式をすべて求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
関数$f(x)=x^3-6x^2-15x+30$について考える。
$y=f(x)$のグラフを$C$とおく。
(1)$f(x)$が極大値、
極小値をとるような$x$をそれぞれ求め、
$f(x)$の極大値、極小値を求めよ。
(2)$C$上の点$(-3,-6)$を通り、
$C$に接する直線の方程式をすべて求めよ。
$2025$年北海道大学文系過去問題
福田の数学〜北海道大学2025理系第5問〜条件を満たす3つの整数を選び出す場合の数
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$n$を$3$以上の整数とする。
(1)$k$を整数とする。
$k\lt a\lt b \lt c \leqq k+n$を満たす
整数$a,b,c$の選び方の
総数を$n$の式で表せ。
(2)$1\leqq a \lt b \lt c \leqq 2n$を満たす
整数$a,b,c$のうち、
$a+b \gt c$となる$a,b,c$の選び方の総数を$L$とする。
このとき、$L\gt {}_n \mathrm{ C }_3 $であることを示せ。
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$\boxed{5}$
$n$を$3$以上の整数とする。
(1)$k$を整数とする。
$k\lt a\lt b \lt c \leqq k+n$を満たす
整数$a,b,c$の選び方の
総数を$n$の式で表せ。
(2)$1\leqq a \lt b \lt c \leqq 2n$を満たす
整数$a,b,c$のうち、
$a+b \gt c$となる$a,b,c$の選び方の総数を$L$とする。
このとき、$L\gt {}_n \mathrm{ C }_3 $であることを示せ。
福田の数学〜北海道大学2025理系第3問〜部分積分と極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
実数$a$および自然数$n$に対して、定積分
$I(a,n)=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \sin (nx) dx$
を考える。ここで$e$は自然対数の底である。
(1)$I(a,n)$を求めよ。
(2)$a_n=\dfrac{\log _n}{2\pi} (n=1,2,3,\cdots)$のとき、
極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty} I(a_n,n)$を求めよ。
ただし、$\log_n$は$n$の自然対数である。
また、必要ならば$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\log_n}{n}=0$である
ことを用いてもよい。
$2025$年北海道大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
実数$a$および自然数$n$に対して、定積分
$I(a,n)=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \sin (nx) dx$
を考える。ここで$e$は自然対数の底である。
(1)$I(a,n)$を求めよ。
(2)$a_n=\dfrac{\log _n}{2\pi} (n=1,2,3,\cdots)$のとき、
極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty} I(a_n,n)$を求めよ。
ただし、$\log_n$は$n$の自然対数である。
また、必要ならば$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\log_n}{n}=0$である
ことを用いてもよい。
$2025$年北海道大学理系過去問題
福田の数学〜北海道大学2025理系第4問〜複素数平面上の点の軌跡と2円が共有点をもつ条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$a$を正の実数とする。
(1)$a$が$1$でないとき、複素数$z$についての方程式
$a \vert z-1 \vert = \vert (a-2)z +a \vert$
を考える。
この方程式を満たす$z$全体の集合を
複素数平面上に図示せよ。
$2025$年北海道大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
$a$を正の実数とする。
(1)$a$が$1$でないとき、複素数$z$についての方程式
$a \vert z-1 \vert = \vert (a-2)z +a \vert$
を考える。
この方程式を満たす$z$全体の集合を
複素数平面上に図示せよ。
$2025$年北海道大学理系過去問題
福田の数学〜北海道大学2025理系第2問〜円に引いた2本の接線でできる四角形の面積の最大最小
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
円$C_1:x^2+y^2=1$を考える。
実数$p,q$が$p^2+q^2 \gt 1$を満たすとき、
点$p(p,q)$から$C_1$に引いた$2$本の接線$\ell_1,\ell_2$の
接点をそれぞれ$Q_1(x_1,y_1), Q_2(x_2,y_2)$とする。
また、座標平面上の原点を$O(0,0)$とする。
(1)直線$\ell_1,\ell_2$,線分$OQ_1,OQ_2$で囲まれた
四角形の面積$S$を$p,q$を用いて表せ。
(2)点$P$が楕円
$C_2:\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{3}=1$
の上を動くとき、
(1)の四角形の面積$S$の最大値と最小値を求めよ。
$2025$年北海道大学理系過去問題
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$\boxed{2}$
円$C_1:x^2+y^2=1$を考える。
実数$p,q$が$p^2+q^2 \gt 1$を満たすとき、
点$p(p,q)$から$C_1$に引いた$2$本の接線$\ell_1,\ell_2$の
接点をそれぞれ$Q_1(x_1,y_1), Q_2(x_2,y_2)$とする。
また、座標平面上の原点を$O(0,0)$とする。
(1)直線$\ell_1,\ell_2$,線分$OQ_1,OQ_2$で囲まれた
四角形の面積$S$を$p,q$を用いて表せ。
(2)点$P$が楕円
$C_2:\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{3}=1$
の上を動くとき、
(1)の四角形の面積$S$の最大値と最小値を求めよ。
$2025$年北海道大学理系過去問題
福田の数学〜北海道大学2025理系第1問〜指数対数の基本性質と数列
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#指数関数#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
$\alpha,r$を$\alpha \gt 1,r \gt 1$を満たす実数とする。
数列$\{a_n\}$を$a_1=\alpha$で公比が$r$の等比数列とする。
数列$\{b_n\}$を
$b_n=\log_{a_{n}} (a_{n+1}) (n=1,2,3,\cdots)$で定める。
(1)$b_n$を$n$と$\log_{\alpha}r$を用いて表せ。
$2025$年北海道大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
$\alpha,r$を$\alpha \gt 1,r \gt 1$を満たす実数とする。
数列$\{a_n\}$を$a_1=\alpha$で公比が$r$の等比数列とする。
数列$\{b_n\}$を
$b_n=\log_{a_{n}} (a_{n+1}) (n=1,2,3,\cdots)$で定める。
(1)$b_n$を$n$と$\log_{\alpha}r$を用いて表せ。
$2025$年北海道大学理系過去問題
福田の数学〜京都大学2025文系第5問〜平面が定点を通ることの証明
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#平面上のベクトル#恒等式・等式・不等式の証明#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
座標空間の$4$点$O,A,B,C$同一平面上にないとする。
$s,t,u$は$0$でない実数とする。
直線$OA$上の点$L$、直線$OB$の点$M$、直線$OC$上の点$N$を
$\overrightarrow{ OL }=s\overrightarrow{ OA},\quad \overrightarrow{ OM }=t\overrightarrow{ OB},\quad \overrightarrow{ ON }=u\overrightarrow{ OC }$
が成り立つようにとる。
$s,t,u$が$\dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$を満たす範囲で
あらゆる値をとるとき、
$3$点$L,M,N$の定める平面$LMN$は、
$s,t,u$の値に無関係な一定の点を通ることを示せ。
$2025$年京都大学文系過去問題
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$\boxed{5}$
座標空間の$4$点$O,A,B,C$同一平面上にないとする。
$s,t,u$は$0$でない実数とする。
直線$OA$上の点$L$、直線$OB$の点$M$、直線$OC$上の点$N$を
$\overrightarrow{ OL }=s\overrightarrow{ OA},\quad \overrightarrow{ OM }=t\overrightarrow{ OB},\quad \overrightarrow{ ON }=u\overrightarrow{ OC }$
が成り立つようにとる。
$s,t,u$が$\dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$を満たす範囲で
あらゆる値をとるとき、
$3$点$L,M,N$の定める平面$LMN$は、
$s,t,u$の値に無関係な一定の点を通ることを示せ。
$2025$年京都大学文系過去問題
533333333素因数分解できる？
単元：
#大学入試過去問(数学)#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
素因数分解せよ。
(1)3999
(2)40401
(3)533333333
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素因数分解せよ。
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(2)40401
(3)533333333
【祝早稲田合格】和男の勉強法と参考書を紹介【大学受験プロジェクト】新メンバーも募集
単元：
#大学入試過去問(数学)#化学#学校別大学入試過去問解説(数学)#大学入試過去問(化学)#英語(高校生)#大学入試過去問(英語)#学校別大学入試過去問解説(英語)#早稲田大学#数学(高校生)#理科(高校生)#早稲田大学#早稲田大学
指導講師：
Morite2 English Channel
問題文全文(内容文)：
衝撃スクープ！浪人を経てついに**早稲田合格**を勝ち取った**かず（和男）**の壮絶な裏側が暴露されるぞ！
藤川天のネガキャンで荒れ果てたチャンネルを、かずさんの合格がなんとか回復させたらしい。モリテツ先生が、合格祝いとして**早稲田大学の入学金20万円**を札束で直接手渡しする、生々しいシーンから動画がスタートだ。
かずさんの受験は波乱万丈だ。現役時代、**12月という超直前期**に塾に駆け込み、短期間でやれることだけを進捗管理してもらい、立教大学に合格。しかし進学はせず浪人を選んだ。
浪人中は、計画は**自分で組み**、川井先生に定期的に進捗確認や「本当に理解しているのか」を問う**質疑形式**でサポートを受けていた。数学に関してはレベルが高すぎて、もはや先生と**議論**するほどだったという。
使っていた参考書は、新しく買ったものはほとんどなく、浪人までにやったものを**クオリティを上げる作業**が中心だった。
* **単語帳**は『パス単』の1級レベルまで仕上げた。
* **数学**は『チャート』や『プラチカ』のハイレベルな部分で取りこぼしていたところを埋めた。
* **国語**（古文・漢文）は『古文上達 基礎編』や『漢文ヤマのヤマ』といった、**ド基礎**を時間をかけて染み込ませることに注力した。
そして最大の衝撃事実！かずさんは親に**内緒で受験**しており、なんと**合格発表の前日**までバレていなかった。親が心配で大学の入試情報を調べていたところ、息子がYouTubeに登場しているのを発見したという爆笑エピソードも飛び出した。
ついに始まる早稲田生活。入学式は**富山キャンパスの早稲田アリーナ**で行われるという。モリテツ先生とのTOEICプロジェクト始動の可能性 や、サークルは**テニサーではなく剣道を見に行く**という宣言にも注目だ。
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衝撃スクープ！浪人を経てついに**早稲田合格**を勝ち取った**かず（和男）**の壮絶な裏側が暴露されるぞ！
藤川天のネガキャンで荒れ果てたチャンネルを、かずさんの合格がなんとか回復させたらしい。モリテツ先生が、合格祝いとして**早稲田大学の入学金20万円**を札束で直接手渡しする、生々しいシーンから動画がスタートだ。
かずさんの受験は波乱万丈だ。現役時代、**12月という超直前期**に塾に駆け込み、短期間でやれることだけを進捗管理してもらい、立教大学に合格。しかし進学はせず浪人を選んだ。
浪人中は、計画は**自分で組み**、川井先生に定期的に進捗確認や「本当に理解しているのか」を問う**質疑形式**でサポートを受けていた。数学に関してはレベルが高すぎて、もはや先生と**議論**するほどだったという。
使っていた参考書は、新しく買ったものはほとんどなく、浪人までにやったものを**クオリティを上げる作業**が中心だった。
* **単語帳**は『パス単』の1級レベルまで仕上げた。
* **数学**は『チャート』や『プラチカ』のハイレベルな部分で取りこぼしていたところを埋めた。
* **国語**（古文・漢文）は『古文上達 基礎編』や『漢文ヤマのヤマ』といった、**ド基礎**を時間をかけて染み込ませることに注力した。
そして最大の衝撃事実！かずさんは親に**内緒で受験**しており、なんと**合格発表の前日**までバレていなかった。親が心配で大学の入試情報を調べていたところ、息子がYouTubeに登場しているのを発見したという爆笑エピソードも飛び出した。
ついに始まる早稲田生活。入学式は**富山キャンパスの早稲田アリーナ**で行われるという。モリテツ先生とのTOEICプロジェクト始動の可能性 や、サークルは**テニサーではなく剣道を見に行く**という宣言にも注目だ。
【慶應文学部あめりあてゃ】１浪２留の末についに進級！
単元：
#大学入試過去問(数学)#化学#学校別大学入試過去問解説(数学)#大学入試過去問(化学)#英語(高校生)#大学入試過去問(英語)#学校別大学入試過去問解説(英語)#慶應義塾大学#数学(高校生)#理科(高校生)#慶應義塾大学#慶應義塾大学#小論文(高校生)#慶應義塾大学
指導講師：
Morite2 English Channel
問題文全文(内容文)：
藤川天を置き去りにした衝撃展開！**慶應文学部「あめりあてゃ」**のヤバすぎる大学生活が暴露されたぞ。
1浪2留（1年生を3回！）の末、ついに**「仮進級」**を勝ち取ったあめりあてゃ。しかし、喜びの裏には地獄があった！
* **慶應文学部は1年から2年への進級が鬼ムズ**。
* 彼女は語学を2つ（フランス語とドイツ語）も取っていたという**「バカじゃないの」な選択**をしていた。そのうち1科目ずつ落としたため、「仮進級」扱いとなった。
* しかも彼女、GPAは**「0.5」**という信じられない低さ！視力並みに悪いGPAで、人気の「美学美術」（ビビ）への進学は断念。
* 第一志望のビビへの発表を駅の改札で見て、**泣き叫んだ**というエピソードも。
* 結局、第二希望の**西洋史学**に進むことに。
さらに彼女は、**アイドル活動を半年で解散**していたことも判明。すぐに問題が起こり、揉めて解散したらしい。
そして衝撃の事実！彼女は3年間も慶應にいるのに、**三田キャンパスに一度も行ったことがない**というから驚きだ。
次なる目標は**ミスコン出場**！モリテツチャンネル出身者はミスコン・ミスターコン率100%のため、ぜひ出場してほしいと先生たちから強く勧められているぞ。
そして動画のラストには、合格祝いとしてモリテツ先生と**サンリオピューロランドに行く約束**が浮上！ピューロランド編が爆誕する可能性も出てきたぞ。
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藤川天を置き去りにした衝撃展開！**慶應文学部「あめりあてゃ」**のヤバすぎる大学生活が暴露されたぞ。
1浪2留（1年生を3回！）の末、ついに**「仮進級」**を勝ち取ったあめりあてゃ。しかし、喜びの裏には地獄があった！
* **慶應文学部は1年から2年への進級が鬼ムズ**。
* 彼女は語学を2つ（フランス語とドイツ語）も取っていたという**「バカじゃないの」な選択**をしていた。そのうち1科目ずつ落としたため、「仮進級」扱いとなった。
* しかも彼女、GPAは**「0.5」**という信じられない低さ！視力並みに悪いGPAで、人気の「美学美術」（ビビ）への進学は断念。
* 第一志望のビビへの発表を駅の改札で見て、**泣き叫んだ**というエピソードも。
* 結局、第二希望の**西洋史学**に進むことに。
さらに彼女は、**アイドル活動を半年で解散**していたことも判明。すぐに問題が起こり、揉めて解散したらしい。
そして衝撃の事実！彼女は3年間も慶應にいるのに、**三田キャンパスに一度も行ったことがない**というから驚きだ。
次なる目標は**ミスコン出場**！モリテツチャンネル出身者はミスコン・ミスターコン率100%のため、ぜひ出場してほしいと先生たちから強く勧められているぞ。
そして動画のラストには、合格祝いとしてモリテツ先生と**サンリオピューロランドに行く約束**が浮上！ピューロランド編が爆誕する可能性も出てきたぞ。
福田の数学〜京都大学2025文系第3問〜確率漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$n$は正の整数とする。
$1$枚の硬貨を投げ、
表が出たら$1$、裏が出たら$2$と記録する。
この試行を$n$回繰り返し、
記録された順に数字を左から
並べて$n$桁の数$X$を作る。
ただし、数の表し方は十進法とする。
このとき、$X$が$6$で割り切れる確率を求めよ。
$2025$年京都大学文系過去問題
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$\boxed{3}$
$n$は正の整数とする。
$1$枚の硬貨を投げ、
表が出たら$1$、裏が出たら$2$と記録する。
この試行を$n$回繰り返し、
記録された順に数字を左から
並べて$n$桁の数$X$を作る。
ただし、数の表し方は十進法とする。
このとき、$X$が$6$で割り切れる確率を求めよ。
$2025$年京都大学文系過去問題
福田の数学〜京都大学2025文系第2問〜恒等式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
実数$a,b$についての次の条件(＊)を考える。
(＊)ある実数係数の$2$次式$f(x)$と、
ある実数$c$に対して、
$x$についての恒等式
$\dfrac{1}{8}x^4+ax^3+bx^2=f(f(x))+c \cdots ①$
が成り立つ。
この条件(＊)を満たす点$(a,b)$全体の集合を
座標平面上に図示せよ。
$2025$年京都大学文系過去問題
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$\boxed{2}$
実数$a,b$についての次の条件(＊)を考える。
(＊)ある実数係数の$2$次式$f(x)$と、
ある実数$c$に対して、
$x$についての恒等式
$\dfrac{1}{8}x^4+ax^3+bx^2=f(f(x))+c \cdots ①$
が成り立つ。
この条件(＊)を満たす点$(a,b)$全体の集合を
座標平面上に図示せよ。
$2025$年京都大学文系過去問題
福田の数学〜京都大学2025文系第1問(2)〜整数の割り算で割り切れる条件
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)$n^4+6n^2+23$が$n^2+n+3$で
割り切れるような正の整数$n$をすべて求めよ。
$2025$年京都大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
(2)$n^4+6n^2+23$が$n^2+n+3$で
割り切れるような正の整数$n$をすべて求めよ。
$2025$年京都大学文系過去問題
福田の数学〜京都大学2025文系第1問(1)〜指数・対数の計算
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
$x,y,z$は実数で
$2025^x=3^y=5^z$を満たすとする。
このとき、
$2xy+4xz-yz=0$であることを示せ。
$2025$年京都大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
$x,y,z$は実数で
$2025^x=3^y=5^z$を満たすとする。
このとき、
$2xy+4xz-yz=0$であることを示せ。
$2025$年京都大学文系過去問題
2025年高校別早稲田大学合格者数ランキング #shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#化学#学校別大学入試過去問解説(数学)#大学入試過去問(化学)#英語(高校生)#大学入試過去問(英語)#学校別大学入試過去問解説(英語)#早稲田大学#数学(高校生)#理科(高校生)#早稲田大学#早稲田大学
指導講師：
Morite2 English Channel
問題文全文(内容文)：
2025年版！高校別早稲田大学合格者数ランキング速報がヤバい！
早稲田大学合格者数の2025年版！高校別早稲田大学合格者数ランキング速報がヤバい！
早稲田大学合格者数の高校別ランキング上位20位が判明したぞ。
栄えある第1位は、今年も**早稲田高校**で、なんと**250人**合格という圧倒的な強さを見せつけた。東大のモデルにしているところが賢いらしい。
第2位は**栄東高校**（埼玉）で228人。所沢キャンパスが近くにあるのも影響しているようだ。
そして、東大でもめちゃくちゃ伸びた**横浜翠嵐高校**（神奈川）が第3位にランクインし、171人を合格させている。第4位は**聖光学院**（神奈川）の170人、第5位は早稲田合格者数で有名な**市川高校**で164人だ。
その他の注目校は以下の通り！
* 第6位：本郷 (145人)
* 第7位：洗足学園 (神奈川, 136人)
* 第8位：千葉県立千葉 (123人)
* 第10位：**渋渋（渋谷教育学園渋谷）**が120人で、今年も強い。
* 第14位：**県立船橋**（千葉）が111人で、公立校も食い込んでいる。
このランキングを見れば、早稲田を目指すならどこに行くべきか一目瞭然だ！
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2025年版！高校別早稲田大学合格者数ランキング速報がヤバい！
早稲田大学合格者数の2025年版！高校別早稲田大学合格者数ランキング速報がヤバい！
早稲田大学合格者数の高校別ランキング上位20位が判明したぞ。
栄えある第1位は、今年も**早稲田高校**で、なんと**250人**合格という圧倒的な強さを見せつけた。東大のモデルにしているところが賢いらしい。
第2位は**栄東高校**（埼玉）で228人。所沢キャンパスが近くにあるのも影響しているようだ。
そして、東大でもめちゃくちゃ伸びた**横浜翠嵐高校**（神奈川）が第3位にランクインし、171人を合格させている。第4位は**聖光学院**（神奈川）の170人、第5位は早稲田合格者数で有名な**市川高校**で164人だ。
その他の注目校は以下の通り！
* 第6位：本郷 (145人)
* 第7位：洗足学園 (神奈川, 136人)
* 第8位：千葉県立千葉 (123人)
* 第10位：**渋渋（渋谷教育学園渋谷）**が120人で、今年も強い。
* 第14位：**県立船橋**（千葉）が111人で、公立校も食い込んでいる。
このランキングを見れば、早稲田を目指すならどこに行くべきか一目瞭然だ！
【全入か全落ちか】藤川天の日大国際関係３期・高千穂大学の合格発表生配信
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#日本大学#数学(高校生)
指導講師：
Morite2 English Channel
問題文全文(内容文)：
藤川天さんが大学に合格したかどうかライブ配信で届けます
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藤川天さんが大学に合格したかどうかライブ配信で届けます
福田の数学〜京都大学2025理系第6問〜確率確率漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{6}$
$n$は$2$以上の整数とする。
$1$枚の硬貨を続けて$n$回投げる。
このとき、$k$回目$(1\leqq l \leqq n)$に表が出たら
$X_k=1$、裏が出たら$X_k=0$として、
$X_1,X_2,\cdots ,X_n$を定める。
$Y_n=\displaystyle \sum_{k-2}^{n} X_{k-1}X_k$とするとき、
$Y_n$が奇数である確率$p_n$を求めよ。
$2025$年京都大学理系過去問題
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$\boxed{6}$
$n$は$2$以上の整数とする。
$1$枚の硬貨を続けて$n$回投げる。
このとき、$k$回目$(1\leqq l \leqq n)$に表が出たら
$X_k=1$、裏が出たら$X_k=0$として、
$X_1,X_2,\cdots ,X_n$を定める。
$Y_n=\displaystyle \sum_{k-2}^{n} X_{k-1}X_k$とするとき、
$Y_n$が奇数である確率$p_n$を求めよ。
$2025$年京都大学理系過去問題