問題文全文(内容文)：
ある1つの箱から とり出して戻すを3回行ったら
●●○となった
箱がAである確率を求めよ

2022年順天堂医学大学 過去問

問題文全文(内容文)：
$\alpha=\displaystyle \frac{-1+\sqrt{ 5 }i}{2}$
$\beta=\displaystyle \frac{-1-\sqrt{ 5 }i}{2}$のとき
$\alpha^4+\beta^4$の値を求めよ。

出典：2021年早稲田大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\ \tan^4x\ dx$を計算せよ。

出典：2019年産業医科大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$a_1=1$
$a_{n+1}=\displaystyle \frac{n}{n+5}\ a_n$のとき
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\ a_n$を求めよ

出典：2010年大阪府立大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$a \gt 0$
$\displaystyle \int_{0}^{1}\displaystyle \frac{dx}{(e^{2x}+a)(e^{-2x}+a)}\ $を計算せよ。

出典：2018年弘前大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
x=?
＊図は動画内参照

2022名城大学附属高等学校

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{99}^{101}\sqrt{ (x-99)(101-x) }\ dx\ $を計算せよ。

出典：2019年産業医科大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
7で割って3余り,9で割って2余り,11で割って1余る最小の自然数を求めよ.

問題文全文(内容文)：
共通テスト追試数学整数問題

問題文全文(内容文)：
共通テスト追試の整数問題を解説していきます.

問題文全文(内容文)：
２０２１年（文系数学）過去問解説

問題文全文(内容文)：
公差が０でない整数の等差数列$a_n$がある
$\sum_{ }^{ } a_n$はn=7で
最大値119　$a_n$を求めよ。

藤田医学科大学

問題文全文(内容文)：
$a_n \gt 0,\ a_1=1$
$n \geqq 2$のとき
$log\ a_n-log\ a_{n-1}=log(n-1)-log(n+1)$である。
$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ

出典：2003年京都大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$x=\displaystyle \frac{6x^2+17x+10}{3x-2}$
(1)$f(x) \gt 0$を解け
(2)$f(n)$の値が自然数となる整数$n$
を求めよ。
2022年 関西医科過去問

問題文全文(内容文)：
$|\vec{ a }|=5,|\vec{ b }|=3,|\vec{ c }|=1$
$\vec{ Z }=\vec{ a }+\vec{ b }+\vec{ c }$

（1）$|\vec{ Z }|$の最大値、最小値
（2）$\vec{ a }・\vec{ Z }=20$
をみたすとき
$|\vec{ Z }|$の最大値、最小値を求めよ

出典：2006年一橋大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
整数$k,n$を
$k^2=3^n+360$
全て求めよ。

千葉大(医)過去問

問題文全文(内容文)：
$n^9 - n^3$は9で割り切れるのはなぜ？（n：整数）

京都大学

問題文全文(内容文)：
次の和を求めよ。
（1）
${}_{ n }C_0+{}_{ n }C_1+・・・+{}_{ n }C_n$

（2）
$\displaystyle \frac{1}{1!(2n)!}+\displaystyle \frac{1}{2(2n-1)!}+・・・+\displaystyle \frac{1}{n!(n+1)!}$

出典：2017年東海大学医学部　入試問題

問題文全文(内容文)：
(4) $11^4$を$2^4$で割ったときの余りは1に等しい。不定方程式
$11^5x-2^5y=1$
の整数解のうち、$x$が正の整数で最小になるのは、$x=$テト, $y=$ナニヌネノである

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1}x^3(1-x^2)^8dx$を計算せよ。

出典：2017年東海大学医学部　入試問題

問題文全文(内容文)：
$n$人を区別のある 部屋に入れます。
0人部屋はダメ

(1)2部屋　(2)3部屋　(3)4部屋

何通りか求めよ。

2022年 近畿大学医学部　過去問

問題文全文(内容文)：
点（$x,y$）が原点を中心とする半径1の円の内部を動くとき
点（$x+y,xy$）の動く範囲を図示せよ。

出典：1954年東京大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$a_1=5,$
$a_{n+1}=3a_n+2$
$\displaystyle \frac{a_{16}-a_{13}}{a_{12}-a_9}$
の値を求めよ。

2022年藤田医科大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$x^2+y^2 \lt 9$
$x^2 \leqq y^2$をみたす整数の組$x,y$の個数を求めよ。

出典：2004年慶應義塾大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
（1）
$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}e^{t-x}\sin(t+x)dt$を求めよ。


（2）
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 }\displaystyle \frac{f(x)}{x}$を求めよ。

出典：2018年千葉大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$n$：自然数
$11^{n+1}+12^{2n-1}$は$19$で割り切れることを示せ

出典：2003年学習院大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3点A,B,Cがあり、
$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=-\frac{2}{3}および\overrightarrow{ OC }=-\overrightarrow{ OA }$を満たすとする。tを$0 \lt t \lt 1$を満たす
実数とし、線分ABを$t:(1-t)$に内分する点をPとする。
また、直線OP上に点Qをとる。

(1)$\cos\angle AOB=\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$　である。
また、実数$k$を用いて、$\overrightarrow{ OQ }=k\overrightarrow{ OP }$と表せる。したがって
$\overrightarrow{ OQ }=\boxed{\ \ エ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ オ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }　　\ldots\ldots\ldots\ldots①$
$\overrightarrow{ CQ }=\boxed{\ \ カ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ キ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }$
となる。
$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ OP }$が垂直となるのは、$t=\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$　のときである。

$\boxed{\ \ エ\ \ }　～　\boxed{\ \ キ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$kt$　　①$(k-kt)$　　②$(kt+1)$
③$(kt-1)$　④$(k-kt+1)$　　⑤$(k-kt-1)$

以下、$t \neq \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$とし、$\angle OCQ$が直角であるとする。

(2)$\angle OCQ$が直角であることにより、(1)のkは
$k=\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }\ t-\boxed{\ \ シ\ \ }}　\ldots②$
となることがわかる。

平面から直線OAを除いた部分は、直線OAを境に二つの部分に分けられる。
そのうち、点Bを含む部分を$D_1$、含まない部分を$D_2$とする。また、平面
から直線OBを除いた部分は、直線OBを境に二つの部分に分けられる。
そのうち、点Aを含む部分を$E_1$、含まない部分を$E_2$とする。
・$0 \lt t \lt \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$ならば、点Qは$\boxed{\ \ ス\ \ }$。
・$\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \lt t \lt 1$ならば、点Qは$\boxed{\ \ セ\ \ }$。

$\boxed{\ \ ス\ \ }、\boxed{\ \ セ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$D_1$に含まれ、かつ$E_1$に含まれる
①$D_1$に含まれ、かつ$E_2$に含まれる
②$D_2$に含まれ、かつ$E_1$に含まれる
③$D_2$に含まれ、かつ$E_2$に含まれる

(3)太郎さんと花子さんは、点Pの位置と$|\overrightarrow{ OQ }|$の関係について考えている。
$t=\frac{1}{2}$のとき、①と②により、$|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$とわかる。

太郎:$t\neq \frac{1}{2}$のときにも、$|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$となる場合があるかな。
花子:$|\overrightarrow{ OQ }|$を$t$を用いて表して、$|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$
を満たすtの値について考えればいいと思うよ。
太郎:計算が大変そうだね。
花子:直線OAに関して、$t=\frac{1}{2}$のときの点Qと対称な点をRとしたら
$|\overrightarrow{ OR }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$となるよ。
太郎:$\overrightarrow{ OR }$を$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ OB }$を用いて表すことができれば、
tの値が求められそうだね。

直線OAに関して、$t=\frac{1}{2}$のときの点Qと対称な点をRとすると
$\overrightarrow{ CR }=\boxed{\ \ タ\ \ }\ \overrightarrow{ CQ }$
$=\boxed{\ \ チ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ ツ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }$
となる。
$t\neq \frac{1}{2}$のとき、$|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$となるtの値は$\frac{\boxed{\ \ テ\ \ }}{\boxed{\ \ ト\ \ }}$である。

2021共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{log\ 3}\displaystyle \frac{dx}{e^x+5e^{-x}-2}$を求めよ。

出典：2015横浜国立大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
(1)A地区で保護されるジャガイモには1個の重さが200gを超えるものが
25%含まれることが経験的にわかっている。花子さんはA地区で収穫された
ジャガイモから400個を無作為に抽出し、重さを計測した。そのうち、重さが
200gを超えるジャガイモの個数を表す確率変数をZとする。このときZは
二項分布B($400,0,\boxed{\ \ アイ\ \ }$)に従うから、Zの平均(期待値)は$\boxed{\ \ ウエオ\ \ }$である。

(2)Zを(1)の確率変数とし、A地区で収穫されたジャガイモ400個からなる標本において
重さが200gを超えていたジャガイモの標本における比率を
$R=\frac{Z}{400}$とする。このとき、Rの標準偏差は$\sigma(R)=\boxed{\ \ カ\ \ }$である。
標本の大きさ400は十分に大きいので、Rは近似的に正規分布
$N(0,\boxed{\ \ アイ\ \ },(\boxed{\ \ カ\ \ })^2)$に従う。
したがって、$P(R \geqq x)=0.0465$となるようなxの値は$\boxed{\ \ キ\ \ }$となる。
ただし、$\boxed{\ \ キ\ \ }$の計算においては$\sqrt3=1.73$とする。

$\boxed{\ \ カ\ \ }$の解答群
⓪$\frac{3}{6400}$　　①$\frac{\sqrt3}{4}$　　②$\frac{\sqrt3}{80}$　　③$\frac{3}{40}$　

$\boxed{\ \ キ\ \ }$については、最も適当なものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。
⓪0.209　　　①0.251　　　②0.286　　　③0.395

(3)B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ1個の重さは100gから
300gの間に分布している。B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ
1個の重さを表す確率変数をXとするとき、Xは連続型確率変数であり、X
の取り得る値xの範囲は$100 \leqq x \leqq 300$である。
花子さんは、B地区で収穫され、出荷される予定の全てのジャガイモのうち、
重さが200g以上のものの割合を見積もりたいと考えた。そのために花子さんは
Xの確率密度関数f(x)として適当な関数を定め、それを用いて割合を
見積もるという方針を立てた。
B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモから206個を無作為に抽出
したところ、重さの標本平均は180gであった。
図1(※動画参照)はこの標本のヒストグラムである。

花子さんは図1のヒストグラムにおいて、重さxの増加とともに度数がほぼ
一定の割合で減少している傾向に着目し、Xの確率密度関数f(x)として、1次関数
$f(x)=ax+b　(100 \leqq x \leqq 300)$
を考えることにした。ただし、$100 \leqq x \leqq 300$の範囲で$f(x) \geqq 0$とする。
このとき、$P(100 \leqq X \leqq 300)=\boxed{\ \ ク\ \ }$であることから

$\boxed{\ \ ケ\ \ }・10^4a+\boxed{\ \ コ\ \ }・10^2b=\boxed{\ \ ク\ \ }　\ldots①$
である。
花子さんは、Xの平均(期待値)が重さの標本平均180gと等しくなるように
確率密度関数を定める方法を用いることにした。
連続型確率変数Xの取り得る値xの範囲が$100 \leqq x \leqq 300$で、その
確率密度関数がf(x)のとき、Xの平均(期待値)mは
$m=\int_{100}^{300}xf(x)dx$
で定義される。この定義と花子さんの採用した方法から
$m=\frac{26}{3}・10^5a+4・10^4b=180　\ldots②$
となる。①と②により、確率密度関数は
$f(x)=-\ \boxed{\ \ サ\ \ }・10^{-5}x+\boxed{\ \ シス\ \ }・10^{-3}　\ldots③$
と得られる。このようにして得られた③のf(x)は、$100 \leqq x \leqq 300$の範囲で
$f(x) \geqq 0$を満たしており、確かに確率密度関数として適当である。
したがって、この花子さんお方針に基づくと、B地区で収穫され、出荷される
予定の全てのジャガイモのうち、重さが200g以上のものは$\boxed{\ \ セ\ \ }%$
あると見積もることができる。

$\boxed{\ \ セ\ \ }$については、最も適当なものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。
⓪33　①34　②35　③36

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返してい
る。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみ
なす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置にあるということに
する。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩
行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は
時刻2に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に
追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び
正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転
車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追い
かける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。
$x=a_n$を自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、$y=b_n$をそのときの歩
行者の位置とする。

(1) 花子さんと太郎さんは、数列$\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}$の一般項を求めるために、歩行者
と自転車について、時刻において位置yにいることをOを原点とする座標
平面上の点(x,y)で表すことにした。
$a_1=2,b_1=2$により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転
車の位置を表す点の座標は(2,0)であり、その時の時刻と歩行者の位置を
表す点の座標は(2,2)である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくとき
の時刻と位置を表す点の座標は$(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ ア\ \ })$である。よって
$a_2=\boxed{\ \ イ\ \ },　b_2=\boxed{\ \ ウ\ \ }$
である。

花子:数列$\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}$の一般項について考える前に、
$(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ ア\ \ })$の求め方について整理してみようか。
太郎:花子さんはどうやって求めたの？
花子:自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくこと
を利用したよ。
太郎:歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を
計算して求めることもできるね。
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標
は$(a_n,0)$であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は
$(a_n,b_n)$である。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に
追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は、$a_n,b_n$を用いて、
$(\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ })$と表せる。

$\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$a_n$　①$b_n$　②$2a_n$
③$a_n+b_n$　④$2b_n$　⑤$3a_n$
⑥$2a_n+b_n$　⑦$a_n+2b_n$　⑧$3b_n$

以上から、数列$\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}$について、自然数nに対して、関係式
$a_{n+1}=a_n+\boxed{\ \ カ\ \ }\ b_n+\boxed{\ \ キ\ \ }　\ldots①$
$b_{n+1}=3b_n+\boxed{\ \ ク\ \ }　\ldots②$
が成り立つことが分かる。まず、$b_1=2$と②から
$b_n=\boxed{\ \ ケ\ \ }　(n=1,2,3,\ldots)$
を得る。この結果と、$a_1=2$および１から
$a_n=\boxed{\ \ コ\ \ }　(n=1,2,3,\ldots)$
がわかる。

$\boxed{\ \ ケ\ \ },　\boxed{\ \ コ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$3^{n-1}+1$　①$\frac{1}{2}・3^n+\frac{1}{2}$
②$3^{n-1}+n$　③$\frac{1}{2}・3^n+n-\frac{1}{2}$
④$3^{n-1}+n^2$　⑤$\frac{1}{2}・3^n+n^2-\frac{1}{2}$
⑥$2・3^{n-1}$　⑦$\frac{5}{2}・3^{n-1}-\frac{1}{2}$
⑧$2・3^{n-1}+n-1$　⑨$\frac{5}{2}・3^{n-1}+n-\frac{3}{2}$
ⓐ$2・3^{n-1}+n^2-1$　ⓑ$\frac{5}{2}・3^{n-1}+n^2-\frac{3}{2}$

(2)歩行者が$y=300$の位置に到着するときまでに、自転車が装甲車に追いつく
回数は$\boxed{\ \ サ\ \ }$回である。また、$\boxed{\ \ サ\ \ }$回目に自転車が歩行者に追いつく
時刻は、$x=\boxed{\ \ シスセ\ \ }$である。

2022共通テスト数学過去問