数A
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【理数個別の過去問解説】2021年度東京大学 数学 理科・文科第4問(2)解説
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
東京大学 2021年理科・文科第４問（２）
以下の問いに答えよ。
(1)正の奇数K,Lと正の整数A,BがKA=LBを満たしているとする。Kを4で割った余りがLを4で割った余りと等しいならば、Aを4で割った余りはBを4で割った余りと等しいことを示せ。
(2)正の整数a,bがa>bを満たしているとする。このとき、$A=_{4a+1}C_{4b+1},B=aCb$に対してKA=LBとなるような正の奇数K,Lが存在することを示せ。
(3)a,bは(2)の通りとし、さらにa-bが2で割り切れるとする。${}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}ｗｐ4$で割った余りは${}_{a}\mathrm{C}_b$を4で割った余りと等しいことを示せ。
(4)2021C37を4で割った余りを求めよ。
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東京大学 2021年理科・文科第４問（２）
以下の問いに答えよ。
(1)正の奇数K,Lと正の整数A,BがKA=LBを満たしているとする。Kを4で割った余りがLを4で割った余りと等しいならば、Aを4で割った余りはBを4で割った余りと等しいことを示せ。
(2)正の整数a,bがa>bを満たしているとする。このとき、$A=_{4a+1}C_{4b+1},B=aCb$に対してKA=LBとなるような正の奇数K,Lが存在することを示せ。
(3)a,bは(2)の通りとし、さらにa-bが2で割り切れるとする。${}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}ｗｐ4$で割った余りは${}_{a}\mathrm{C}_b$を4で割った余りと等しいことを示せ。
(4)2021C37を4で割った余りを求めよ。
【数A】整数の性質：最大公約数と最小公倍数から3つの自然数の組(a,b,c)の決定
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の(A),(B),(C)を満たす3つの自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ。ただし、 a＜b＜cとする。(A)a,b,cの最大公約数は7。(B)bとcの最大公約数は21、最小公倍 数は294。(C)aとbの最小公倍数は84。
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次の(A),(B),(C)を満たす3つの自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ。ただし、 a＜b＜cとする。(A)a,b,cの最大公約数は7。(B)bとcの最大公約数は21、最小公倍 数は294。(C)aとbの最小公倍数は84。
自治医科大 整数問題
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$n,n^2-10n+23$がどちらも素数となる$n$を求めよ.
2021自治医大(類)過去問
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$n,n^2-10n+23$がどちらも素数となる$n$を求めよ.
2021自治医大(類)過去問
変な指数方程式
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$x\gt 0$とする.これを解け.
①$x^{x^3}=3$
②$x^x=\left(\dfrac{27}{64}\right)^{\frac{27}{64}}$
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$x\gt 0$とする.これを解け.
①$x^{x^3}=3$
②$x^x=\left(\dfrac{27}{64}\right)^{\frac{27}{64}}$
【中学数学・数A】中高一貫校用問題集(代数編)確率と標本調査：確率の計算：じゃんけん A,B,Cの3人がじゃんけんを1回行うとき、次の問いに答えよう。(問題文全文は概要欄を見てね)
単元：
#数学(中学生)#中３数学#数A#場合の数と確率#確率#標本調査#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
A,B,Cの3人がじゃんけんを1回行うとき、次の問いに答えよう。
(1)手の出し方は、何通りあるか求めよう。
(2)全員が同じ手を出して、引き分けとなる確率を求めよう。
(3)Aだけが勝つ確率を求めよう。
(4)1人だけが負ける確率を求めよう。
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A,B,Cの3人がじゃんけんを1回行うとき、次の問いに答えよう。
(1)手の出し方は、何通りあるか求めよう。
(2)全員が同じ手を出して、引き分けとなる確率を求めよう。
(3)Aだけが勝つ確率を求めよう。
(4)1人だけが負ける確率を求めよう。
【数学A/中間テスト対策】順列の応用『辞書式配列』
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
$a,b,c,d,e$を1つずつ使ってできる文字列を$abcde$から$edcba$まで辞書式に並べるとき、$cbdea$は何番目にあるか求めよ。
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$a,b,c,d,e$を1つずつ使ってできる文字列を$abcde$から$edcba$まで辞書式に並べるとき、$cbdea$は何番目にあるか求めよ。
【数学A/中間テスト対策】順列の基本
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
6人の中から3人選んで、部長、副部長、会計を1名ずつ決めるとき、その方法は何通りあるか求めよ。
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6人の中から3人選んで、部長、副部長、会計を1名ずつ決めるとき、その方法は何通りあるか求めよ。
【数A】中高一貫校用問題集(論理・確率編)場合の数と確率：場合の数：硬貨の選び方 5円玉4枚、10円玉2枚、50円玉1枚、100円玉2枚の一部、または全部使って支払うことができる金額は何通りか
単元：
#数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
5円玉4枚、10円玉2枚、50円玉1枚、100円玉2枚の一部、または全部使って支払うことができる金額は何通りか。
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5円玉4枚、10円玉2枚、50円玉1枚、100円玉2枚の一部、または全部使って支払うことができる金額は何通りか。
図形と比 中学受験レベル
【中学数学・数A】中高一貫校問題集3(論理・確率編)61：場合の数と確率：場合の数：硬貨の選び方 5円玉4枚、10円玉2枚、50円玉1枚、100円玉2枚の一部、または全部使って支払うことができる金額は何通りか求めよう。
単元：
#算数(中学受験)#数A#場合の数と確率#場合の数#場合の数#場合の数#数学(高校生)
教材：
#TK数学#TK数学問題集3(論理・確率編)#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
5円玉4枚、10円玉2枚、50円玉1枚、100円玉2枚の一部、または全部使って支払うことができる金額は何通りか求めよう。
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5円玉4枚、10円玉2枚、50円玉1枚、100円玉2枚の一部、または全部使って支払うことができる金額は何通りか求めよう。
整数問題
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
素数$p,q$の組をすべて求めよ.
$p^8+q^p+7$が$pq$で割り切れる.
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素数$p,q$の組をすべて求めよ.
$p^8+q^p+7$が$pq$で割り切れる.
【理数個別の過去問解説】2021年度東京大学 数学 理科・文科第4問(1)解説
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
東京大学 2021年理科・文科第４問（１）合同式を用いた証明
以下の問いに答えよ。
(1)正の奇数K,Lと正の整数A,BがKA=LBを満たしているとする。Kを4で割った余りがLを4で割った余りと等しいならば、Aを4で割った余りはBを4で割った余りと等しいことを示せ。
(2)正の整数a,bがa>bを満たしているとする。このとき、$A=_{4a+1}C_{4b+1},B=aCb$に対してKA=LBとなるような正の奇数K,Lが存在することを示せ。
(3)a,bは(2)の通りとし、さらにa-bが2で割り切れるとする。$_{4a+1}C_{4b+1}ｗｐ4$で割った余りは${}_a \mathrm{C}_b$を4で割った余りと等しいことを示せ。
(4)2021C37を4で割った余りを求めよ。
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東京大学 2021年理科・文科第４問（１）合同式を用いた証明
以下の問いに答えよ。
(1)正の奇数K,Lと正の整数A,BがKA=LBを満たしているとする。Kを4で割った余りがLを4で割った余りと等しいならば、Aを4で割った余りはBを4で割った余りと等しいことを示せ。
(2)正の整数a,bがa>bを満たしているとする。このとき、$A=_{4a+1}C_{4b+1},B=aCb$に対してKA=LBとなるような正の奇数K,Lが存在することを示せ。
(3)a,bは(2)の通りとし、さらにa-bが2で割り切れるとする。$_{4a+1}C_{4b+1}ｗｐ4$で割った余りは${}_a \mathrm{C}_b$を4で割った余りと等しいことを示せ。
(4)2021C37を4で割った余りを求めよ。
整数問題 早稲田実業
単元：
#数学(中学生)#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$c^2+4a^2+b^2 =65$を満たす正の整数a,b,cの組を求めよ。
早稲田実業学校
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$c^2+4a^2+b^2 =65$を満たす正の整数a,b,cの組を求めよ。
早稲田実業学校
どっちがでかい？
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
どちらが大きいか?
$\dfrac{10^{2019}+1}{10^{2020}+1}$ VS $\dfrac{10^{2020}+1}{10^{2021}+1}$
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どちらが大きいか?
$\dfrac{10^{2019}+1}{10^{2020}+1}$ VS $\dfrac{10^{2020}+1}{10^{2021}+1}$
算数オリンピック 角度 C
単元：
#算数(中学受験)#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#平面図形#角度と面積#その他#算数オリンピック
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\angle D=?$
＊図は動画内参照
算数オリンピック
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$\angle D=?$
＊図は動画内参照
算数オリンピック
【高校数学】1次不定方程式～どこよりも丁寧に教える～ 5-8【数学A】
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
1次不定方程式の分かりやすい解説動画です
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1次不定方程式の分かりやすい解説動画です
X＝❓ パックマン再び
指数方程式
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
実数解を求めよ.
$3^x-5^x=\sqrt{15^x-25^x}$
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実数解を求めよ.
$3^x-5^x=\sqrt{15^x-25^x}$
道の面積
単元：
#数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#平面図形#角度と面積#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
道の面積(s)をlを用いて表せ
＊図は動画内参照
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道の面積(s)をlを用いて表せ
＊図は動画内参照
京都工芸繊維大 整数問題
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$n$を自然数とする.
$m^{m-1}+1$を$8$で割った余りを求めよ.
(1)$m$が偶数のとき
(2)$m$が奇数のとき
2021京都工芸大過去問
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$n$を自然数とする.
$m^{m-1}+1$を$8$で割った余りを求めよ.
(1)$m$が偶数のとき
(2)$m$が奇数のとき
2021京都工芸大過去問
正十二角形の中の三角形の個数
単元：
#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
正十二角形の3つの頂点を結んでできる三角形の個数は$\boxed{ア}$コである。
そのうち
・2辺を共有する三角形は$\boxed{イ}$コ
・1辺を共有する三角形は$\boxed{ウ}$コ
・辺を共有しない三角形は$\boxed{エ}$コ
・直角三角形は$\boxed{オ}$コ
・正三角形は$\boxed{カ}$コ
・二等辺三角形は$\boxed{キ}$コ
ある。
＊図は動画内参照
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正十二角形の3つの頂点を結んでできる三角形の個数は$\boxed{ア}$コである。
そのうち
・2辺を共有する三角形は$\boxed{イ}$コ
・1辺を共有する三角形は$\boxed{ウ}$コ
・辺を共有しない三角形は$\boxed{エ}$コ
・直角三角形は$\boxed{オ}$コ
・正三角形は$\boxed{カ}$コ
・二等辺三角形は$\boxed{キ}$コ
ある。
＊図は動画内参照
数学「大学入試良問集」【6−6 外接球と四面体】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$AB=5,BC=7,CA=8$および$OA=OB=OC=t$を満たす四面体$OABC$がある。
（1）$\angle BAC$を求めよ。
（2）$\triangle ABC$の外接円の半径を求めよ。
（3）4つの頂点$O,A,B,C$が同一球面上にあるとき、その球の半径が最小となるような実数$t$の値を求めよ。
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$AB=5,BC=7,CA=8$および$OA=OB=OC=t$を満たす四面体$OABC$がある。
（1）$\angle BAC$を求めよ。
（2）$\triangle ABC$の外接円の半径を求めよ。
（3）4つの頂点$O,A,B,C$が同一球面上にあるとき、その球の半径が最小となるような実数$t$の値を求めよ。
横浜市立（医）約数・倍数
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
自然数$A,B$の最大公約数が$G$であり,最小公倍数が$L$である.
$L^2-G^2=72$であるとき,$(A,B)$をすべて求めよ.
2021横浜市立(医)
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自然数$A,B$の最大公約数が$G$であり,最小公倍数が$L$である.
$L^2-G^2=72$であるとき,$(A,B)$をすべて求めよ.
2021横浜市立(医)
角度が出てないのに角度が求まる
数学「大学入試良問集」【6−5 母線の等しい四面体】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数Ⅰ#数A#図形の性質#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#数学(高校生)
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
1辺の長さが2の正三角形$ABC$を底面とし、
$OA=OB=OC=2a(a \gt 1)$
である四面体$OABC$について、辺$AB$の中点を$M$とし、頂点$O$から直線$CM$に下した垂線を$OH$とする。
$\angle OMC=\theta$とするとき、次の各問いに答えよ。
（1）$\cos\theta$を$a$を用いて表せ。
（2）$OH$の長さを$a$を用いて表せ。
（3）$OH$の長さが$2\sqrt{ 3 }$になるときの$a$の値を求めよ。
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1辺の長さが2の正三角形$ABC$を底面とし、
$OA=OB=OC=2a(a \gt 1)$
である四面体$OABC$について、辺$AB$の中点を$M$とし、頂点$O$から直線$CM$に下した垂線を$OH$とする。
$\angle OMC=\theta$とするとき、次の各問いに答えよ。
（1）$\cos\theta$を$a$を用いて表せ。
（2）$OH$の長さを$a$を用いて表せ。
（3）$OH$の長さが$2\sqrt{ 3 }$になるときの$a$の値を求めよ。
数学「大学入試良問集」【6−4 メネラウス、方べきの定理】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#方べきの定理と２つの円の関係#学校別大学入試過去問解説(数学)#宮崎大学#数学(高校生)
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\triangle ABC$に対し、点$P$辺$AB$の中点、点$Q$は辺$BC$上の$B,C$と異なる点、点$R$は直線$AQ$と直線$CP$との交点とする。
このとき、各問いに答えよ。
（1）
$a=\displaystyle \frac{CR}{RP},b=\displaystyle \frac{CQ}{QB}$とおくとき、$a$と$b$の関係式を求めよ。
（2）
$\triangle ABC$の外接円$O$と直線$CP$との点$C$以外の交点を$X$とする。
$AP=CR,CQ=QB$であるとき、$CR:RP:PX$を求めよ。
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$\triangle ABC$に対し、点$P$辺$AB$の中点、点$Q$は辺$BC$上の$B,C$と異なる点、点$R$は直線$AQ$と直線$CP$との交点とする。
このとき、各問いに答えよ。
（1）
$a=\displaystyle \frac{CR}{RP},b=\displaystyle \frac{CQ}{QB}$とおくとき、$a$と$b$の関係式を求めよ。
（2）
$\triangle ABC$の外接円$O$と直線$CP$との点$C$以外の交点を$X$とする。
$AP=CR,CQ=QB$であるとき、$CR:RP:PX$を求めよ。
数学「大学入試良問集」【6−3 内接四角形】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
四角形$ABCD$が、半径$\displaystyle \frac{65}{8}$の円に内接している。
この四角形の週の長さが$44$で、辺$BC$と辺$CD$の長さがいずれも$13$であるとき、残りの2辺$AB$と$DA$の長さを求めよ。
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四角形$ABCD$が、半径$\displaystyle \frac{65}{8}$の円に内接している。
この四角形の週の長さが$44$で、辺$BC$と辺$CD$の長さがいずれも$13$であるとき、残りの2辺$AB$と$DA$の長さを求めよ。
ちょいムズ整数問題
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
自然数$n$をすべて求めよ.
$\vert 2^n+5^n-65 \vert$が平方数である.
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自然数$n$をすべて求めよ.
$\vert 2^n+5^n-65 \vert$が平方数である.
【数A】整数の性質：φ関数（φ（６）について） 問題文「1～ｎまでの自然数でｎと互いに素な自然数の個数を求めよ」
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
1～nまでの自然数でnと互いに素な自然数の個数を求めよ
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1～nまでの自然数でnと互いに素な自然数の個数を求めよ
小学生解き方 中学生の解き方
単元：
#数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
四角形ABCDは正方形
斜線部の面積=?
＊図は動画内参照
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四角形ABCDは正方形
斜線部の面積=?
＊図は動画内参照