【高校数学】分数関数と一次関数の不等式をグラフを使わない裏ワザ！②

問題文全文(内容文)：
次の不等式を解け。

\frac{2 x}{x + 1} ≧ x + 6

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単元： #関数と極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の不等式を解け。

\frac{2 x}{x + 1} ≧ x + 6

投稿日：2024.02.08

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lim_{x \to 1} \frac{a x - 1}{x - a}

を求めよ.

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問題文全文(内容文)：

lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + x + 4}{x^{2} + 2 x + 3}

を求めよ.

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

自然数

n

に対し,

f_{n} (x) = x^{- 1 + \frac{1}{n}} (x > 0)

とおく.
また,正の実数

a_{n}

は

\int_{1}^{a_{n}} f_{n} (x) d x = 1

満たすものとする.次の問い　
答えよ.

(1)関数

f_{n} (x)

の不定積分を求めよ.

(2)

a_{n}

の値と極限

lim_{n \to \infty} a_{n}

を求めよ.また,正の実数

b_{n}

が

\int_{1}^{b_{n}} f_{n + 1} (x) d x = - 1

を満たすとき,

b_{n}

の値と極限

lim_{n \to \infty} b_{n}

を求めよ.

(3)2以上の自然数

k

に対して

\int_{k - 1}^{k} f_{n} (x) d x > \frac{1}{k}

を示し,これを利用して

a_{n} < 4

を証明せよ.

(4)

\int_{1}^{a_{n}} f_{n + 1} (x) d x < 1

を示し,これを利用して$a_n\lt a_{n+1}＄を証明せよ.

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福田のわかった数学〜高校３年生理系055〜格子点の個数と極限

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問題文全文(内容文)：
数学

III

　格子点の個数と極限
右図の斜線部分(※動画参照)に含まれる
格子点の総数を

a_{n}

とする。

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{n^{2}}

を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
正の整数nに対して、

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (\sqrt{1 + \frac{k}{n^{2}}} - 1)

とする。
(1)正の実数xに対して、次の不等式が成り立つことを示せ。

\frac{x}{2 + x} ≦ \sqrt{1 + x} - 1 ≦ \frac{x}{2}

(2)極限値

lim_{n \to \infty} S_{n}

を求めよ。

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