問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$　無理関数の極限(5)

$\displaystyle\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+2x+3}-(ax+b))$
を求めよ。

問題文全文(内容文)：
第2項が3である無限等比級数が収束し、その和が-4であるとき、初項と公比を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$0 \lt a$：実数
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(1+a^n)^{\frac{1}{n}}$の極限を求めよ。

出典：2012年京都大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$n$ を $3$ 以上の整数とする。座標平面上の $2n$ 個の点からなる集合
$\{ (x,y) | x=1,2,3, \cdots , n , y=1,2 \}$
を考える。この集合から異なる $3$ 点を無作為に選び、その $3$ 点を線分で結んで得られる図形の面積を $X$ とする。ただし、 $3$ 点が同一直線上にあるときは $X=0$ とする。
$(1)$ $k$ が $0$ 以上の整数のとき、 $X$ が $\displaystyle \frac{k}{2}$ となる確率 $p_k$ を $n$ と $k$ の式で表せ。
$(2)$ $X$ が $\displaystyle \frac{n}{4}$ 以下となる確率を $q_n$ とおく。 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} q_n$ を求めよ。

問題文全文(内容文)：

$1,2,･･･,n$を並べるとき、$k$項目に$k$がこないような

並べ方の総数を$x_n$通りとする。

$n\geqq 3$のとき$x_n,x_{n-1},x_{n-2}$の関係式を作り、

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{x_n}{n!}$を求めて下さい。