単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large第4問}\\
初項3、交差pの等差数列を\left\{a_n\right\}とし、初項3、公比rの等比数列を\left\{b_n\right\}と\\
する。ただし、p \ne 0かつr \ne 0とする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。\\
a_nb_{n+1}-2a_{n+1}b_n+3b_{n+1}=0 (n=1,2,3,\ldots)\cdots①\\
\\
(1)pとrの値を求めよう。自然数nについて、a_n,a_{n+1},b_nはそれぞれ\\
a_n=\boxed{\ \ ア\ \ }+(n-1)p \cdots②\\
a_{n+1}=\boxed{\ \ ア\ \ }+np \cdots③\\
b_n=\boxed{\ \ イ\ \ }r^{n-1}\\
と表される。r \ne 0により、すべての自然数nについて、b_n \ne 0となる。\\
\frac{b_{n+1}}{b_n}=rであることから、①の両辺をb_nで割ることにより\\
\boxed{\ \ ウ\ \ }a_{n+1}=r\left(a_n+\boxed{\ \ エ\ \ }\right) \cdots④\\
が成り立つことが分かる。④に②と③を代入すると\\
\left(r-\boxed{\ \ オ\ \ }\right)pn=r\left(p-\boxed{\ \ カ\ \ }\right)+\boxed{\ \ キ\ \ } \cdots⑤\\
となる。⑤が全てのnで成り立つことおよびp \ne 0により、r=\boxed{\ \ オ\ \ }を得る。\\
さらに、このことから、p=\boxed{\ \ ク\ \ }を得る。\\
以上から、すべての自然数nについて、a_nとb_nが正であることもわかる。\\
\\
(2)p=\boxed{\ \ ク\ \ }, r=\boxed{\ \ オ\ \ }であるから、\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}の初項から第n項\\
までの和は、それぞれ次の式で与えられる。\\
\sum_{k=1}^na_k=\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}n\left(n+\boxed{\ \ サ\ \ }\right)\\
\sum_{k=1}^nb_k=\boxed{\ \ シ\ \ }\left(\boxed{\ \ オ\ \ }^n-\boxed{\ \ ス\ \ }\right)\\
\\
(3)数列\left\{a_n\right\}に対して、初項3の数列\left\{c_n\right\}が次を満たすとする。\\
a_nc_{n+1}-4a_{n+1}c_n+3c_{n+1}=0 (n=1,2,3,\ldots)\cdots⑥\\
a_nが正であることから、⑥を変形して、c_{n+1}=\frac{\boxed{\ \ セ\ \ }a_{n+1}}{a_n+\boxed{\ \ ソ\ \ }}c_nを得る。\\
さらに、p=\boxed{\ \ ク\ \ }であることから、数列\left\{c_n\right\}は\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}ことがわかる。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}の解答群\\
⓪すべての項が同じ値をとる数列である\\
①公差が0でない等差数列である\\
②公比が1より大きい等比数列である\\
③公比が1より小さい等比数列である\\
④等差数列でも等比数列でもない\\
\\
(4)q,uは定数でq \ne 0とする。数列\left\{b_n\right\}に対して、初項3の数列\left\{d_n\right\}が\\
次を満たすとする。\\
d_nb_{n+1}-qd_{n+1}b_n+ub_{n+1}=0 (n=1,2,3,\ldots)\cdots⑦\\
r=\boxed{\ \ オ\ \ }であることから、⑦を変形して、d_{n+1}=\frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{q}(d_n+u)\\
を得る。したがって、数列\left\{d_n\right\}が、公比が0より大きく1より小さい\\
等比数列となるための必要十分条件は、q \gt \boxed{\ \ ツ\ \ }かつu=\boxed{\ \ テ\ \ }\\
である。\\
\end{eqnarray}
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