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数学$\textrm{III}$　色々な極限(6)
$\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{e^x+1}{2})^{\frac{1}{x}}$を2通りの方法で求めよ。

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次の無限級数の和を求めよう。
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n \cos n\pi$

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$p$を$2$以上の自然数の定数とする。$n$=$2$, $3$, $4$...に対して、関数 $f_n(x) $$(n\gt0)$を

$f_n(x) = (1 + \dfrac{x}{n})(1 + \dfrac{x}{n+1}) \cdot\cdot \cdot(1 + \dfrac{x}{pn})
$

で定める。例えば$p$ = $2$のとき

$
f_2(x) = (1 + \dfrac{x}{2})(1 + \dfrac{x}{3})(1 + \dfrac{x}{4})
$

$
f_3(x) = (1 + \dfrac{x}{3})(1 + \dfrac{x}{4})(1 + \dfrac{x}{5})(1 + \dfrac{x}{6})
$

である。$f(x)=\displaystyle \lim_{ n \to \infty }f_n(x)$ $(n\gt0)$とおくとき、次の問に答えよ。

$(1)$$t$$\geqq$$0$のとき、不等式$\dfrac{t}{1+t}$$\leqq$$\log(1+t)$$\leqq$$t$ が成り立つことを示せ。ただし、対数は自然対数とする。

$(2)$ $f(x)$を求めよ。

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次の不等式を解け。
$\dfrac{2x}{x+1}\geqq x+6$

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$\Large{\boxed{2}}$ 関数$f(x)$=$\sin x$　$\left(0≦x≦\frac{\pi}{2}\right)$の逆関数を$g(x)$とする。
(1)関数$g(x)$の定義域は$\boxed{\ \ え\ \ }$である。
(2)$y$=$g(x)$の$x$=$\frac{4}{5}$における接線の傾きは$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$である。
(3)$\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}g(x)dx$=$\displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ キ\ \ }}$+$\boxed{\ \ ク\ \ }$+$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}\sqrt{\boxed{\ \ サ\ \ }}$である。
(4)$y$=$g(x)$のグラフと$x$=1および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は$\displaystyle\frac{\pi^a}{\boxed{\ \ シ\ \ }}$+$\boxed{\ \ ス\ \ }\pi$　ただし$a$=$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。