問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ (1)0≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{2}$において常に不等式|$b$|≦|$b$+1-$b\cos x$|が成り立つような実数$b$の値の範囲は$\boxed{\ \ シ\ \ }$≦$b$≦$\boxed{\ \ ス\ \ }$である。
以下、$b$を$\boxed{\ \ シ\ \ }$≦$b$≦$\boxed{\ \ ス\ \ }$を満たす0でない実数とし、数列$\left\{a_n\right\}$を
$a_n$=$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x(\cos x)^{n-1}}{(b+1-b\cos x)^n}dx$　(n=1,2,3,...)で定義する。
(2)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}b^na_n$=0　が成り立つことを証明しなさい。
(3)$a_1$=$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。
(4)$a_{n+1}$を$a_n$,$n$,$b$を用いて表すと$a_{n+1}$=$\boxed{\ \ ソ\ \ }$となる。
(5)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left\{\frac{1}{1・2}-\frac{1}{2・2^2}+\frac{1}{3・2^3}-...+\frac{(-1)^{n+1}}{n・2^n}\right\}$=$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。

問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x^{\circ}}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to \pi} \frac{\sin (x - \pi)}{x - \pi}$
(3) $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$
(4) $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \pi x}{x-1}$
(5) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin x)}{\sin x}$
(6) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{2x}$

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$　極限(7)
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{n^2}{2^n}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$

座標平面上の点$P(1,1)$と点$Q(1,-1)$および

曲線$C:y=\dfrac{1}{x-4}(x\gt 4)$を考える。

(1)曲線$C$の接線で点$Q$を通るものは存在しないことを

証明しなさい。

(2)曲線$C$の接線で点$P$を通るものを$l$とし、

$C$と$l$の接点を$A$とする。

このとき、$l$の方程式は$y=\boxed{キ}$であり、

点$A$の座標は$\boxed{ク}$である。

また、曲線$C$上の点の点$B$が

$\overrightarrow{PB}･\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AQ}=-\dfrac{2}{3}$

を満たすとき、点$B$の座標は$\boxed{ケ}$である。

(3)$A,B$を(2)で定めた点とする。

正の数$t$に対し、曲線$C$上の点$R\left(t+4,\dfrac{1}{t}\right)$は

点$A$と異なるものとする。

線分$AR$を$2:1$に内分する点を$S$とし、

線分$BS$を$3:2$に内分する点を$T(u,v)$とするとき、

$u$を$t$の式で表すと$u=\boxed{コ}$である。

また、$uv$の値は$t-\boxed{サ}$のとき最小となる。

$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題

問題文全文(内容文)：
複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},　p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}},　p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。

2023杏林大学医過去問