問題文全文(内容文)：
整数$x,m,n$を全て求めよ.
$x^2=7^m-2^n$

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large第4問}\\
円周上に15個の点P_0,P_1,\ldots,P_{14}が反時計回りに順に並んでいる。最初、\\
点P_0に石がある。さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに5個先\\
の点に移動させ、奇数の目が出たら石を時計回りに3個先の点に移動させる。\\
この操作を繰り返す。例えば、石が点P_5にあるとき、さいころを投げて6の目が\\
出たら石を点P_{10}に移動させる。次に、5の目が出たら点P_{10}にある石を\\
点P_7に移動させる。\\
\\
(1)さいころを5回投げて、偶数の目が\boxed{\ \ ア\ \ }回、奇数の目が\boxed{\ \ イ\ \ }回\\
出れば、点P_0にある石を点P_1に移動させることができる。このとき、\\
x=\boxed{\ \ ア\ \ },　y=\boxed{\ \ イ\ \ }は、不定方程式5x-3y=1の整数解に\\
なっている。\\
\\
(2)不定方程式\\
5x-3y=8　\cdots①\\
の全ての整数解x,yは、kを整数として\\
\\
x=\boxed{\ \ ア\ \ }×8+\boxed{\ \ ウ\ \ }\ k,　y=\boxed{\ \ イ\ \ }×8+\boxed{\ \ エ\ \ }\ k\\
\\
と表される。①の整数解x,yの中で、0 \leqq y \lt \boxed{\ \ エ\ \ }を満たすものは\\
\\
x=\boxed{\ \ オ\ \ },　y=\boxed{\ \ カ\ \ }\\
\\
である。したがって、さいころを\boxed{\ \ キ\ \ }回投げて、偶数の目が\boxed{\ \ オ\ \ }回、\\
奇数の目が\boxed{\ \ カ\ \ }回出れば、点P_0にある石を点P_8に移動させることが\\
できる。\\
\\
(3)(2)において、さいころを\boxed{\ \ キ\ \ }回より少ない回数だけ投げて、点P_0\\
にある石を点P_8に移動させることはできないだろうか。\\
\\
(*)石を反時計回りまたは時計回りに15個先の点に移動させると\\
元の点に戻る。\\
\\
(*)に注意すると、偶数の目が\boxed{\ \ ク\ \ }回、奇数の目が\boxed{\ \ ケ\ \ }回出れば、\\
さいころを投げる回数が\boxed{\ \ コ\ \ }回で、点P_0にある石を点P_8に移動させる\\
ことができる。このとき、\boxed{\ \ コ\ \ } \lt \boxed{\ \ キ\ \ }　である。\\
\\
(4)点P_1,P_2,\cdots,P_{14}のうちから点を一つ選び、点P_0にある石をさいころを\\
何回か投げてその点に移動させる。そのために必要となる、さいころを\\
投げる最小回数を考える。例えば、さいころを1回投げて点P_0にある石を\\
点P_2へ移動させることはできないが、さいころを2回投げて偶数の目と\\
奇数の目が1回ずつ出れば、点P_0にある石を点P_2へ移動させることができる。\\
したがって、点P_2を選んだ場合には、この最小回数は2回である。\\
点P_1,P_2,\cdots,P_{14}のうち、この最小回数が最も大きいのは点\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}であり、\\
その最小回数は\boxed{\ \ シ\ \ }回である。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}の解答群\\
⓪P_{10}　①P_{11}　②P_{12}　③P_{13}　④P_{14}　\\
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
ｎは自然数
$4^{7n－3}＋5^{2n＋3}$
は必ずある素数をもつ
ある素数を求めよ

$4^{n+1}＋5^{2n-1}$
は21の倍数であることを証明しなさい

問題文全文(内容文)：
京都大学（理系）
2016年度（前期）第2問

p,qを素数とする。このときp^q＋q^pが素数となるようなp,qの値の組を全て求めよ。

問題文全文(内容文)：
東京大学 2021年理科・文科第４問（４）
以下の問いに答えよ。
(1)正の奇数K,Lと正の整数A,BがKA=LBを満たしているとする。Kを4で割った余りがLを4で割った余りと等しいならば、Aを4で割った余りはBを4で割った余りと等しいことを示せ。
(2)正の整数a,bがa>bを満たしているとする。このとき、A=(4a+1)C(4b+1),B=aCbに対してKA=LBとなるような正の奇数K,Lが存在することを示せ。
(3)a,bは(2)の通りとし、さらにa-bが2で割り切れるとする。(4a+1)C(4b+1)ｗｐ4で割った余りはaCbを4で割った余りと等しいことを示せ。
(4)2021C37を4で割った余りを求めよ。