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数Ⅲ(曲線の長さ②・媒介変数表示編)

ポイント
曲線$x=f(t)$、$y=g(t) (a \leqq t \leqq b)$ の長さ$L$は　$L=$①

②曲線$x=a\cos^3θ、y=a \sin^3θ (0 \leqq θ \leqq \frac{\pi}{2})$の長さを求めよ。
ただし$a \gt 0$とする。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ (2)xを変数とする2次方程式\ x^2+(2\sqrt2\cos\theta)x+\sqrt2\sin\theta=0\ が\\
異なる2つの実数解をもつような実数\thetaの範囲は\boxed{\ \ ア\ \ }\ である。
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学商学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 0＜b＜a とする。xy平面において、原点を中心とする半径rの円Cと点(a, 0)を中心とする半径bの円Dが2点で交わっている。
(1)半径rの満たすべき条件を求めよ。
(2)CとDの交点のうちy座標が正のものをPとする。Pのx座標h(r)を求めよ。
(3)点Q(r, 0)と点R(a-b, 0)をとる。Dの内部にあるCの弧PQ、線分QR、および線分RPで囲まれる図形をAとする。xyz空間においてAをx軸の周りに1回転して得られる立体の体積V(r)を求めよ。ただし答えにh(r)を用いてもよい。
(4)(3)の最大値を与えるrを求めよ。また、そのrをr(a)とおいたとき、
$\displaystyle\lim_{a \to \infty}(r(a)-a)$を求めよ。

2023名古屋大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$y=-x^3-2x^2+a$と$y=x^3-16x$は$x$座標が負の点で共有点をもち、その点で共通接線をもつ。
$a$の値と囲まれた面積を求めよ

出典：1996年東北大学　過去問

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微分の定義をイメージで解説します。