問題文全文(内容文)：
正の整数nのすべての正の約数の和を$\langle \langle n \rangle \rangle$で表すことにする。
$\langle \langle n \rangle \rangle =n+8$をみたすnの値をすべて求めよ。
専修大学松戸高等学校

問題文全文(内容文)：
$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+･･････+a_1x+a_0=0$という$x$の$n$次方程式が
$1+\sqrt3$を解にもつとき$1-\sqrt3$も解であることを示せ.
$a_i(i=0$~$n-1$)は有理数である.

2009大阪大(改)過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第5問}$
点$Z$を端点とする半直線$ZX$と半直線$ZY$があり、$0° \lt \angle XZY \lt 90°$とする。
また、$0° \lt \angle SZX \lt \angle XZY$かつ$0° \lt \angle SZY \lt \angle XZY$を満たす点$S$をとる。
点$S$を通り、半直線$ZX$と半直線$ZY$の両方に接する円を作図したい。
円$O$を、次の$(Step\ 1)～(Step\ 5)$の手順で作図する。

手順
$(Step\ 1)　\angle XZY$の二等分線$l$上に点$C$をとり、下図(※動画参照)のように半直線$ZX$
と半直線$ZY$の両方に接する円$C$を作図する。また、円$C$と半直線$ZX$との接点を$D,$
半直線$ZY$との接点を$E$とする。
$(Step\ 2)$　円Cと直線$ZS$との交点の一つを$G$とする。
$(Step\ 3)$　半直線$ZX$上に点$H$を$DG//HS$を満たすようにとる。
$(Step\ 4)$　点$H$を通り、半直線$ZX$に垂直な直線を引き、$l$との交点を$O$とする。
$(Step\ 5)$　点$O$を中心とする半径$OH$の円$O$をかく。

(1)$(Step\ 1)～(Step\ 5)$の手順で作図した円$O$が求める円であることは、次の構想に
基づいて下のように説明できる。

構想:円$O$が点$S$を通り、半直線$ZX$と半直線$ZY$の両方に接する円であることを
示すには、$OH=\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$が成り立つことを示せばよい。

作図の手順より、$\triangle ZDG$と$\triangle ZHS$との関係、および$\triangle ZDC$と$\triangle ZHO$との
関係に着目すると
$DG:\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}=\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}:\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$
$DC:\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}=\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}:\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$

であるから、$DG:\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}=DC:\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$となる。
ここで、3点$S,O,H$が一直線上にある場合は、$\angle CDG=\angle \boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$で
あるので、$\triangle CDG$と$\triangle \boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$との関係に着目すると、$CD=CG$より
$OH=\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$であることがわかる。
なお、3点$S,O,H$が一直線上にある場合は、$DG=\boxed{\ \ キ\ \ }DC$となり、
$DG:\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}=DC:\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$より$OH=\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$である
ことがわかる。

$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}～\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$DH$　①$HO$　②$HS$　③$OD$　④$OG$
⑤$OS$　⑥$ZD$　⑦$ZH$　⑧$ZO$　⑨$ZS$

$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$の解答群
⓪$OHD$　①$OHG$　②$OHS$　③$ZDS$
④$ZHG$　⑤$ZHS$　⑥$ZOS$　⑦$ZCG$


(2)点$S$を通り、半直線$ZX$と半直線$ZY$の両方に接する円は二つ作図できる。
特に、点$S$が$\angle XZY$の二等分線$l$上にある場合を考える。半径が大きい方の
円の中心を$O_1$とし、半径が小さい方の円の中心を$O_2$とする。また、円$O_2$と
半直線$ZY$が接する点を$I$とする。円$O_1$と半直線$ZY$が接する点を$J$とし、円$O_1$と
半直線$ZX$が接する点を$K$とする。
作図をした結果、円$O_1$の半径は$5$,　円$O_2$の半径は3であったとする。このとき、
$IJ=\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}$である。さらに、円$O_1$と円$O_2$の接点$S$に
おける共通接線と半直線$ZY$との交点を$L$とし、
直線$LK$と円$O_1$との交点で点$K$とは異なる点を$M$とすると

$LM・LK=\boxed{\ \ サシ\ \ }$

である。
また、$ZI=\boxed{\ \ ス\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ セソ\ \ }}$であるので、直線$LK$と直線$l$との交点を$N$とすると

$\displaystyle \frac{LN}{NK}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ タ\ \ }}{\boxed{\ \ チ\ \ }},　SN=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ツ\ \ }}{\boxed{\ \ テ\ \ }}$

である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$ x^4-2tx^2-x+t^2-t,これを因数分解せよ.$

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$　2次方程式の解の分離
$x^2+2ax-2a+3=0$　の解が全て
$-2 \lt x \lt 1$の範囲に存在するような
定数$a$の値の範囲を求めよ。