大阪大 対数方程式 恒等式 - 質問解決D.B.(データベース)

大阪大 対数方程式 恒等式

問題文全文(内容文):
実数の組$(x,y,z)$で、どのような整数$l,m,n$に対しても$l・10^{x-y}-nx+l・10^{y-z}+m・10^{x-z}=$
13l+36m+ny$が成り立つものを求めよ

出典:2011年大阪大学 過去問
単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#指数関数と対数関数#恒等式・等式・不等式の証明#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
実数の組$(x,y,z)$で、どのような整数$l,m,n$に対しても$l・10^{x-y}-nx+l・10^{y-z}+m・10^{x-z}=$
13l+36m+ny$が成り立つものを求めよ

出典:2011年大阪大学 過去問
投稿日:2019.08.01

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問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{4}}$ $e$を自然対数の底とする。$e$=2.718...である。
(1)0≦$x$≦1において不等式1+$x$≦$e^x$≦1+2$x$が成り立つことを示せ。
(2)$n$を自然数とするとき、0≦$x$≦1において不等式
$\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$≦$e^x$≦$\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\frac{x^n}{n!}$
が成り立つことを示せ。
(3)0≦$x$≦1を定義域とする関数$f(x)$を
$f(x)$=$\left\{\begin{array}{1}
1 (x=0)\\
\displaystyle\frac{e^x-1}{x} (0<x≦1)
\end{array}\right.$
と定義する。(2)の不等式を利用して、定積分$\displaystyle\int_0^1f(x)dx$ の近似値を小数第3位まで求め、求めた近似値と真の値との誤差が$10^{-3}$以下である理由を説明せよ。
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問題文全文(内容文):
$n$を正の整数とする。$\cos n\theta$は$\cos\theta$の$n$次式で表されることを証明してください。
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問題文全文(内容文):
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$|x| \leqq 1,|y| \leqq 1$のとき、不等式
$0 \leqq x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} \leqq 1$
が成り立つことを示せ。
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問題文全文(内容文):
$\displaystyle \frac{x+y}{2}=\displaystyle \frac{y+z}{3}=\displaystyle \frac{z+x}{7}$
すべての実数$x,y,z$でつねに$x^2+y^2+z^2+a(x+y+z) \gt -1$となるような$a$の範囲は?

出典:1962年九州大学 過去問
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指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
$(p-1)!+1$は$p$の倍数であることを示せ.
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