問題文全文(内容文)：
$a_1=0(n\geqq 2)$,$a_n-\dfrac{2S_n^2}{2S_n-1}$であるとする.
一般項$a_n$を求めよ.
$S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$

1979群馬大(医)過去問

問題文全文(内容文)：
次の和$S_n$を求めよ。
$S_n=\dfrac{3}{1^2}+\dfrac{5}{1^2+2^2}+\dfrac{7}{1^2+2^2+3^2}+...+\dfrac{2n+1}{1^2+2^2+3^2+...+n^2}$

問題文全文(内容文)：
数列 $ \large{ a }\scriptsize{ n } = \left(1+\frac{1}{n} \right)^n $ は増加することを証明せよ。

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{2}}$数列$\left\{a_n\right\}$は
$a_{n+1}=-|a_n|-\frac{1}{2}a_n+5\hspace{15pt}(n=1,2,3,\ldots)$
を満たしている。
(1)$a_1=\frac{1}{2}$ならば、$a_2=\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }},\ a_3=-\frac{\boxed{\ \ エオ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$である。
(2)$-2 \leqq a_n \leqq -1$ならば$a_{n+1}$および$a_{n+2}$の取り得る値の範囲は、
それぞれ$\boxed{\ \ キ\ \ }\leqq a_{n+1} \leqq \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }},\ -\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\leqq a_{n+1} \leqq -\boxed{\ \ シ\ \ }$である。
以下、$a_1=2+(\frac{2}{3})^{10}$とする。
(3)$a_n \lt 0$となる自然数nの内最小のものをmとすると、$m=\boxed{\ \ スセ\ \ }$である。
(4)(3)の$m$に対して、自然数kが$2k \geqq m$を満たすとき、
$a_{2k+2}=-\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }}\ a_{2k}-\frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$
より
$a_{2k}=-\frac{\boxed{\ \ テト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}+\frac{3}{\boxed{\ \ ニヌ\ \ }}(-\frac{\boxed{\ \ ネ\ \ }}{\boxed{\ \ ノ\ \ }})^{k-\boxed{\ \ ハ\ \ }}$
が成り立つ。

2022慶應義塾大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
$n$は自然数とする。数学的帰納法によって、次の等式を証明せよ。
(1) $1+2\cdot\dfrac32+\cdots+n(\dfrac32)^{n-1}=2(n-2)(\dfrac32)^n+4$
(2) $(n+1)(n+2)(n+3)\cdots(2n)=2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)$