問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x}{\sqrt{ 4-x^2 }} dx$

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \sin^3 x$ $dx$

広島市立大過去問

問題文全文(内容文)：
以下の定積分を解け。
$\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{ 2 }} \displaystyle \frac{1+2x}{\sqrt{ 4-x^2 }} dx$

問題文全文(内容文)：
定積分について述べた次の文章を読んで、後の問いに答えよ。
$f(x)$を整式とする。$F'(x)=f(x)$となる$F(x)$を1つ選び、
$f(x)$のaからbまでの定積分を
$#\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\ldots①$
で定義する。定積分の値はF(x)の選び方によらずに定まる。
定積分は次の性質(A),(B),(C)をもつ。
(A)$\int_a^b\left\{kf(x)+lg(x)\right\}dx=k\int_a^bf(x)dx+l\int_a^bg(x)dx$
(B)$a \leqq c \leqq b$のとき、$\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx$
(C)区間$a \leqq x \leqq b$において$g(x) \geqq h(x)$ならば、$\int_a^bg(x)dx \geqq \int_a^bh(x)dx$
ただし、f(x),g(x),h(x)は整式、k,lは定数である。
以下、$f(x)$が区間$0 \leqq x \leqq 1$上で増加関数になる場合を考える。
$n$を自然数とする。定積分の性質$\boxed{\ \ ア\ \ }$を用い、定数関数に対する定積分の計算を行うと、
$\frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n}) \leqq \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx \leqq \frac{1}{n}f(\frac{i}{n})　　(i = 1,2,\ldots,n)　　　　　\ldots②$
が成り立つことがわかる。$S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i-1}{n})$とおくと、
不等式②と定積分の性質$\boxed{\ \ イ\ \ }$より次の不等式が成り立つ。
$0 \leqq \int_0^1f(x)dx-S_n \leqq \frac{f(1)-f(0)}{n}　　　　　\ldots③$
よって、$n$を限りなく大きくすると$S_n$は$\int_0^1f(x)dx$に限りなく近づく。

(1)関数F(x),G(x)が微分可能であるとき、$\left\{F(x)+G(x)\right\}'=F'(x)+G'(x)$が
成り立つことと定積分の定義①を用いて、性質(A)で$k=l=1$とした場合の等式
$\int_a^b\left\{f(x)+g(x)\right\}dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$　を示せ。
(2)定積分の定義①と関数の増減と導関数の関係を用いて、次を示せ。
$a \lt b$のとき、区間$a \leqq x \leqq b$において$g(x) \gt 0$ならば、$\int_a^bg(x)dx \gt 0$
(3)(A),(B),(C)のうち、空欄$\boxed{\ \ ア\ \ }$に入る記号として最もふさわしいものを
1つ選び答えよ。また、文章中の下線部の内容を詳しく説明することで、
不等式②を示せ。
(4)(A),(B),(C)のうち、空欄$\boxed{\ \ イ\ \ }$に入る記号として最もふさわしいものを
1つ選び答えよ。また、不等式③を示せ。

2022九州大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{5}}$aを実数とする。関数
$f(x)=-x^2+6x(a-2 \leqq x \leqq a)$
の最大値をg(a)、最小値をh(a)とする。このとき、
$ab$平面において$b=g(a)$のグラフとa軸によって囲まれる部分の面積は$\boxed{\ \ ア\ \ }$であり、
ab平面において$b=h(a)$のグラフとa軸によって囲まれる部分の面積は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。

2022早稲田大学人間科学部過去問