問題文全文(内容文)：
$(x^3-x)^2(y^3-y)=86400$を満たす整数の組(x,y)を求めよ

東工大過去問

問題文全文(内容文)：
（1）
$f(x)$連続
$\displaystyle \int_{0}^{\pi} x\ f(\sin\ x)dx=\displaystyle \frac{\pi}{2}\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(\sin\ x) dx$


（2）
$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \displaystyle \frac{x(a^2-4\cos^2\ x)\sin\ x}{a^2-\cos^2x} dx$

出典：2013年埼玉大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ $|x|$≦2 を満たす複素数$x$と、$|y-(8+6i)|$=3 を満たす複素数$y$に対して、$z$=$\displaystyle\frac{x+y}{2}$ とする。このような複素数$z$が複素数平面において動く領域を図示し、その面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
整数からなる数列$\{a_n\}~(n=1,2,3,\cdots)$を次の規則1、規則2により定める。
（規則1）$a_1=0,a_2=1$である。
（規則2）$k=1,2,3,\cdots$について、初項から第$2^k$項までの値のそれぞれに$1$を加え、それらすべてを逆の順序にしたものが第$(2^k+1)$項から第$2^{k+1}$項までの値と定める。
例えば、初項と第2項までのそれぞれに$1$を加えて順序を逆にすると$2,1$を得る。これより、初項から第4項までは$0,1,2,1$となる。同様に、これらのそれぞれに$1$を加えて順序を逆にすると$2,3,2,1$となる。これより、初項から第8項までは$0,1,2,1,2,3,2,1$となる。
(1) 以上の規則により得られる数列$\{a_n\}$において、$a_{10}=\boxed{ア}$であり、$a_{16}=\boxed{イ}$である。また第$2^k$項$(k=5,6,7,\cdots)$の値は$\boxed{ウ}$である。

(2) $a_{518}$を求めたい。上記の規則2によれば、$1 \leqq i \leqq 2^k$を満たす$i$に対して$a_1$に$1$を加えた数と第$\boxed{エ}$項が等しいと定めている。実際に、$2^b < 518 < 2^{b+1}$を満たすような整数$b$は$\boxed{オ}$であることに注意すれば、$a_{518}=\boxed{カ}$である。
エの解答群
⓪ $2^k+i-1$ ① $2^k+i$ ② $2^k+i+1$ ③$2^k+2i$ ④ $2^k+2i+1$
⑤ $2^k-i-1$ ⑥ $2^{k+1}-i$ ⑦ $2^{k+1}-i+1$ ⑧ $2^{k+1}-2i-1$ ⑨ $2^{k+1}-2i$

(3) 点$\textrm{P}_k (k=1,2,3,\cdots)$を次のように定める。
数列$\{a_n\}$の初項から第$2^k$項に着目し、$a_n$を4で割った余りにしたがって、ベクトル$\vec{e_n}$を
\begin{eqnarray}
\vec{e_n}
=
\begin{cases}
(1,0) & a_nが4の倍数のとき \\
(0,1) & a_nを4で割った余りが1のとき\\
(-1,0) & a_nを4で割った余りが2のとき\\
(0,-1) & a_nを4で割った余りが3のとき
\end{cases}
\end{eqnarray}
によって定め、点$\textrm{P}_1$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\textrm{OP}_1}=\vec{e_1}+\vec{e_2}$とし、点$\textrm{P}_k (k=2,3,4,\cdots)$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\textrm{OP}_k}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}+\cdots+\vec{e_{2^k}}$とする。たとえば、$\overrightarrow{\textrm{OP}_1}=(1,0)+(0,1)+(-1,0)+(0,1)=(0,2)$である。$\{a_n\}$を定める規則に注目すると、$|\overrightarrow{\textrm{OP}_{k+1}}|$は$|\overrightarrow{\textrm{OP}_{k}}|$の$\boxed{キ}$倍であり、$\angle{\textrm{P}_k\textrm{OP}_{k+1}}=\boxed{ク}$である。このことから$\overrightarrow{\textrm{OP}_{99}}$は$(\boxed{ケ},\boxed{コ})$である。
キの解答群
⓪ $\dfrac18$ ① $\dfrac14$ ② $\dfrac12$ ③ $\dfrac{\sqrt{2}}2$ ④ $1$
⑤ $\sqrt2$ ⑥ $2$ ⑦ $2\sqrt2$ ⑧ $4$ ⑨ $8$
クの解答群
⓪ $15^{\circ}$ ① $30^{\circ}$ ② $45^{\circ}$ ③ $60^{\circ}$ ④ $75^{\circ}$
⑤ $90^{\circ}$ ⑥ $105^{\circ}$ ⑦ $120^{\circ}$ ⑧ $135^{\circ}$ ⑨ $150^{\circ}$
ケ、コの解答群
⓪ $-2^{99}$ ① $-2^{98}$ ② $-2^{49}$ ③ $-2^{48}$ ④ $0$
⑤ $1$ ⑥ $2^{48}$ ⑦ $2^{49}$ ⑧ $2^{98}$ ⑨ $2^{99}$

問題文全文(内容文)：
京都大学過去問題
①$n$と$n^2+2$がともに素数となるような自然数$n$を求めよ。

信州大学過去問題
②$x^2+(2a-1)x+a^2-3a-4=0$が少なくとも1つの正の解をもつ条件。