問題文全文(内容文)：
次のように定義された数列を$\{a_n\}$とする。
$a_1=r^2,a_2=1,2a_n=(r+3)a_{n-1}-(r+1)a_{n-2}(n \geqq 3)$
このとき、次の各問いに答えよ。
（1）$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき、$b_n$を$n$と$r$を用いて表せ。
（2）$a_n$を求めよ。
（3）数列$\{a_n\}$が収束するような$r$の範囲およびそのときの極限値を求めよ。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{3}$

点$P, Q$を数直線の原点におき、
$1$個のさいころを投げて
出た目に応じて$P, Q$を動かす。
偶数の目が出たときは$P$を正の向きに$1$だけ動かし、
$5$または$6$の目が出たときは
$Q$を正の向きに$1$だけ動かす。
たとえば、$6$の目が出たときは$P, Q$をともに
正の向きに$1$だけ動かす。
$P$と$Q$の距離が初めて$2$となるまで
さいころを投げ続けることとし、
$P$と$Q$の距離が$2$となったら、
それ以降はさいころを投げない。
$n$回さいころを投げて$P$と$Q$の距離が
$2$となる確率を$p_n$とする。

(1)$P_2 = \boxed{シ}$である。

(2)$n$回さいころを投げて、
$P$が$Q$よりも正の向きに
$1$だけ進んでいる確率を$x_n$、
$P$と$Q$が同じ位置にある確率を$y_n$、
$Q$が$P$よりも正の向きに$1$だけ進んでいる確率を
$z_n$とすると、

$y_{n+1}=\boxed{ス}x_n+\boxed{セ}y_n+\boxed{ソ}z_n$

という関係式が成立する。

また、$x_n=\boxed{タ}z_n$が成り立つ。

ただし、$\boxed{ス}$～$\boxed{タ}$には数を記入すること。

(3)関係式

$z_{n+1}+\alpha y_{n+1}=\beta(z_n+\alpha y_n)$

を満たす定数の組$(\alpha,\beta)$は$\boxed{チ}$と$\boxed{ツ}$の$2$組ある。

(4)$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\boxed{テ}$となる。

$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (3)座標平面上の2点O(0, 0)とP(2023, 1071)について、線分OA上にある点(x, y)でx, yが共に整数であるものの個数は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$である。
ただし、線分OPは両端点を含むものとする。

2023立教大学理学部過去問

問題文全文(内容文)：
次の等比数列の初項と公比を求めよう.

①初項から第3項までの和が3,初項から第6項までの和が27

②第3項が4,初項から第3項までの和が7

問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$a_1=-50,9a_{n+1}=a_n+\dfrac{4}{3^n}$

(1)一般項$a_n$を求めよ.
(2)$a_n$を最大にする$n$の値を求めよ.