問題文全文(内容文)：
5,10,20,40,80$\cdots$
で表される等比数列の第n項までの和を求めよ。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{2}$

次の条件によって定められる数列$\{ a_n\}$がある。

$a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{2n-1}{2n}a_n \quad (n=1,2,3,\cdots)$

(1)正の整数$k,\ell$に対して

$\dfrac{k}{k+\ell-1}a_{k+1}a_{\ell}+\dfrac{\ell}{k+\ell-1}a_ka_{\ell+1}=a_ka_{\ell}$

が成り立つことを示せ。

(2)正の整数$m$に対して

$\displaystyle \sum_{k=1}^{m} a_ka_{m-K+1}=1$

が成り立つことを示せ。

$2025$年大阪大学文系過去問題

問題文全文(内容文)：
$n$は自然数である.
$x^2-3x+5=0$の2つの解を$\alpha,\beta$とする.
$\alpha^n+\beta^n-3^n$は5の倍数であることを示せ.

2013東工大過去問

問題文全文(内容文)：
$p=2+\sqrt5$とおき、自然数$n=1,2,3,\cdots$対して
$a_n=p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n$
と定める。以下の問いに答えよ。(1)は結論のみを書けばよい。
(1)$a_1,a_2$の値を求めよ。
(2)$n \geqq 2$とする。積$a_1a_n$を、$a_{n+1}$と$a_{n-1}$を用いて表せ。
(3)$a_n$は自然数であることを示せ。
(4)$a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を求めよ。

2017東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$n$：自然数
$11^{n+1}+12^{2n-1}$は$19$で割り切れることを示せ

出典：2003年学習院大学　入試問題