大学入試問題#77 京都大学(2002) 数列と極限 - 質問解決D.B.(データベース)

大学入試問題#77 京都大学(2002) 数列と極限

問題文全文(内容文):
$a_1=1,\displaystyle \lim_{ n \to \infty }S_n=1$
$n(n-2)a_{n+1}=s_n$のとき
一般項$a_n$を求めよ。

出典:2002年京都大学 入試問題
単元: #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師: ますただ
問題文全文(内容文):
$a_1=1,\displaystyle \lim_{ n \to \infty }S_n=1$
$n(n-2)a_{n+1}=s_n$のとき
一般項$a_n$を求めよ。

出典:2002年京都大学 入試問題
投稿日:2022.01.02

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$\sqrt{n}$に最も近い整数を$a_n$とする
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$\displaystyle\sum_{n=1}^{2023}\frac{1}{a_n}$を求めよ
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次の漸化式、3通りの解法を考えて下さい。
$a_1=1 \quad$ $a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{3^n}$
特性方程式
$a_{n+1}=α a_n+β \quad$ $x=αx+β$
$a_{n+2}=αa_{n+1}+β a_n=0 \quad$ $x^2+αx+β=0$
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(1)
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(2)
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次の和$S_n$を求めよ。
$S_n=\dfrac{3}{1^2}+\dfrac{5}{1^2+2^2}+\dfrac{7}{1^2+2^2+3^2}+...+\dfrac{2n+1}{1^2+2^2+3^2+...+n^2}$
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$a=\sin^2\dfrac{\pi}{5}$であり,$b=\sin^2\dfrac{2\pi}{5}$である.

(1)$a+b,ab$は有理数であることを示せ.
(2)$(a^{-n}+b^{-n})(a+b)^n$は整数であることを示せ.($n$は自然数)

1994東大過去問
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