問題文全文(内容文)：
一般項$a_n$を求めよ.
$S_n=(n+3)(\dfrac{1}{3}a_n-2)$

2020大分大過去問

問題文全文(内容文)：

$\boxed{3}$

点$P, Q$を数直線の原点におき、
$1$個のさいころを投げて
出た目に応じて$P, Q$を動かす。
偶数の目が出たときは$P$を正の向きに$1$だけ動かし、
$5$または$6$の目が出たときは
$Q$を正の向きに$1$だけ動かす。
たとえば、$6$の目が出たときは$P, Q$をともに
正の向きに$1$だけ動かす。
$P$と$Q$の距離が初めて$2$となるまで
さいころを投げ続けることとし、
$P$と$Q$の距離が$2$となったら、
それ以降はさいころを投げない。
$n$回さいころを投げて$P$と$Q$の距離が
$2$となる確率を$p_n$とする。

(1)$P_2 = \boxed{シ}$である。

(2)$n$回さいころを投げて、
$P$が$Q$よりも正の向きに
$1$だけ進んでいる確率を$x_n$、
$P$と$Q$が同じ位置にある確率を$y_n$、
$Q$が$P$よりも正の向きに$1$だけ進んでいる確率を
$z_n$とすると、

$y_{n+1}=\boxed{ス}x_n+\boxed{セ}y_n+\boxed{ソ}z_n$

という関係式が成立する。

また、$x_n=\boxed{タ}z_n$が成り立つ。

ただし、$\boxed{ス}$～$\boxed{タ}$には数を記入すること。

(3)関係式

$z_{n+1}+\alpha y_{n+1}=\beta(z_n+\alpha y_n)$

を満たす定数の組$(\alpha,\beta)$は$\boxed{チ}$と$\boxed{ツ}$の$2$組ある。

(4)$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\boxed{テ}$となる。

$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題

問題文全文(内容文)：
下図(※動画参照)の三角柱ABC-DEFにおいて、Aを始点として、辺に沿って
頂点をn回移動する。すなわち、この移動経路
$P_0　\to　P_1　\to　P_2　\to　\ldots　\to　P_{n-1}　\to　P_n$　(ただし$P_0=A$)
において、$P_0P_1,P_1P_2,\ldots,P_{n-1}P_n$は全て辺であるとする。
また、同じ頂点を何度通ってよいものとする。このような移動経路で、終点$P_n$がA,B,Cの
いずれかとなるものの総数$a_n$を求めよ。

2022京都大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
$\dfrac{2^3-1}{2^3+1}・\dfrac{3^3-1}{3^3+1}・\dfrac{4^3-1}{4^3+1}・\dfrac{5^3-1}{5^3+1}…$
$\displaystyle \prod_{n=2}^{\infty} \dfrac{n^3-1}{n^3+1}=?$
これを解け.

問題文全文(内容文)：
次の和を求めよ。
（4）$\displaystyle \sum_{k=1}^n (k^2+3k+2)$