問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III}　色々な極限(5)\\
\lim_{x \to 0}\frac{a^x-1}{x}　(a \gt 1)\\
を2通りの方法で求めよ。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
無限等比級数の基礎と求め方を解説します。

問題文全文(内容文)：
次の関数の逆関数を求めよ。

①$y=\log_{\frac{1}{2}} x$

②$y=2^{x+1}$

③$y=log_2 (x-1)$

④$y=-3^x$

問題文全文(内容文)：

$\boxed{4}$

次の問いに答えよ。

(1)$t\gt 0$のとき

$-\dfrac{1}{t}\lt \displaystyle \int_{t}^{2t} \dfrac{\sin x}{x^2}dx \lt \dfrac{1}{t}$

が成り立つことを示せ。

(2)$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \dfrac{\cos x}{x}dx=0$を示せ。

(3)$f(x)=\sin\left(\dfrac{3x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$おく。

$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \int_{1}^{t} \dfrac{f(x)}{x}dx=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{\cos x}{x} dx$

を示せ。

$2025$年大阪大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{5}}\ a \gt 0$を定数とし、
$f(x)=x^a\log x$とする。以下の問いに答えよ。
(1)$\lim_{x \to +0}f(x)$を求めよ。必要ならば$\lim_{s \to \infty}se^{-s}=0$が成り立つことは
証明なしに用いてよい。
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点がx軸上に存在するときのaの値を求めよ。
さらにそのとき$y=f(x)$のグラフの概形を描け。
(3)$t \gt 0$に対して、曲線$y=f(x)$上の点(t,f(t))における接線をlとする。
lがy軸の負の部分と交わるための$(a,t)$の条件を求め、その条件の表す領域を
a-t平面上に図示せよ。

2022早稲田大学人間科学部過去問