問題文全文(内容文)：
$n$を2以上の整数とする。
平面上に$n+2$個の点$O,P_1,P_2・・・P_n$があり、次の2つの条件を満たしている。
①$\angle P_{k-1}OP_k=\displaystyle \frac{\pi}{n}(1 \leqq k \leqq n),\angle OP_{k-1}P_k=\angle OP_0P_1(2 \leqq k \leqq n)$

②線分$OP_0$の長さは1、線分$OP_1$の長さは$1+\displaystyle \frac{1}{n}$である。

線分$P_{k-1}P_k$の長さを$a_k$とし、$s_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$とおくとき、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }s_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよ。

①$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2-n+2}{3n^2-5}$

②$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{5n^2-1}{4+n}$

③$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)$

④$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2-2n}-n)$

⑤$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{4n}{\sqrt{n^2+n}+3n}$

⑥$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{5}{\sqrt{n^2+2n}-n}$

問題文全文(内容文)：
$n$を3以上の自然数、$\alpha,\beta$を相異なる実数とするとき、以下の問いに答えよ。
(1)次を満たす実数A,B,Cと整式Q(x)が存在することを示せ。
$x^n=(x-\alpha)(x-\beta)^2Q(x)+A(x-\alpha)(x-\beta)+B(x-\alpha)+C$
(2)(1)のA,B,Cを$n,\alpha,\beta$を用いて表せ。
(3)(2)のAについて、nと$\alpha$を固定して、$\beta$を$\alpha$に近づけたときの極限
$\lim_{\beta \to \alpha}A$を求めよ。

2022九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：

$\boxed{4}$

次の問いに答えよ。

(1)$t\gt 0$のとき

$-\dfrac{1}{t}\lt \displaystyle \int_{t}^{2t} \dfrac{\sin x}{x^2}dx \lt \dfrac{1}{t}$

が成り立つことを示せ。

(2)$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \dfrac{\cos x}{x}dx=0$を示せ。

(3)$f(x)=\sin\left(\dfrac{3x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$おく。

$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \int_{1}^{t} \dfrac{f(x)}{x}dx=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{\cos x}{x} dx$

を示せ。

$2025$年大阪大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
$a_1=1,\ a_2=2$
$a_{n+2}=\sqrt{ a_n\ a_{n+1} }$のとき
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }a_n$を求めよ。

出典：1991年神戸大学　入試問題