問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 5}}$ 四面体OABCにおいて、$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OC}$とおき、次が成り立つとする。
$\mathrm{\angle }$AOB=60°, |$\overrightarrow{a}$|=2, |$\overrightarrow{b}$|=3, |$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{6}$, $\overrightarrow{b}$・$\overrightarrow{c}$=3
ただし、$\overrightarrow{b}$・$\overrightarrow{c}$は、2つのベクトル$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の内積を表す。さらに、線分OCと線分ABは垂直であるとする。点Cから3点O, A, Bを含む平面に下ろした垂線をCHとし、点Oから3点A, B, Cを含む平面に下ろした垂線をOKとする。
(1)$\overrightarrow{a}$・$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$・$\overrightarrow{a}$を求めよ。
(2)ベクトル$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ。
(3)ベクトル$\overrightarrow{c}$とベクトル$\overrightarrow{HK}$は平行であることを示せ。

2023東北大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
点 O を原点とする座標空間に 3 点 A(-1,0,-2), B(-2,-2, -3 ), C(1, 2,- 2 )がある。
(a)ベクトル$\overrightarrow{AB}\mathrm{と}\overrightarrow{AC}\mathrm{の}\mathrm{内}\mathrm{積}\mathrm{は}\overrightarrow{AB}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}=\boxed{\text{ アイ }}$であり、$\mathrm{\angle }ABC\mathrm{の}\mathrm{外}\mathrm{接}\mathrm{円}\mathrm{の}\mathrm{半}\mathrm{径}\mathrm{は}\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}$である。$\mathrm{\angle }ABC$の外接円の中心を点 P とすると、
$\overrightarrow{AP}=\boxed{\text{オ}}\overrightarrow{AB}+\frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}\overrightarrow{AC}$
が成り立つ。
(b)$\mathrm{\angle }ABC$の重心を点 G とすると、$\overrightarrow{OG}=\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$であり、線分OBを 2 : 1 に内分する点を Q とすると、$\overrightarrow{AQ}=(\frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}},\frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}},\boxed{\text{タ}})$となる。
(c)線分 OC を 2 : I に内分する点を R とし、 3 点 A, Q, R を通る平面を$\alpha$と直線OG との交点を S とする。点 S は平面にあることから、
$\overrightarrow{OS}=t\overrightarrow{OA}+u\overrightarrow{OB}+v\overrightarrow{OC}$
(ただし、$t,u,v\mathrm{は}t+\frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}u+\frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}v=1$を満たす実数)
と書けるので、$\overrightarrow{OS}=\frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}\overrightarrow{OG}$となることがわかる。
平面$\alpha$上において、点Sは三角形AQRの$\boxed{\text{ヌ}}$に存在し、四面体 O-AQR の体積は四面体のO-ABCの体積の$frac\boxed{\text{ネ}}\boxed{\text{ノ}}$倍である。

2023杏林大学過去問

問題文全文(内容文)：
1辺の長さが1の正六角形ABCDEFが与えられている。点Pが辺AB上を、
点Qが辺CD上をそれぞれ独立に動くとき、線分PQを2:1に内分する点Rが
通りうる範囲の面積を求めよ。

2017東京大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
$AB=2,BC=3$の長方形ABCDの形の紙がある。DE=aとなる辺DC上の
点Eを考える。AがEと重なるように紙を折るとき、折り目となる線と辺AD,
辺BCとの交点をそれぞれP,Qとする。

(1)aを用いて表すと、$AP=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{二}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}}{a}^2+\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}}}$である.
(2)aを用いて表すと、$BQ=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}}}{a}^2+\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{フ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}}}}a+\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ホ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{マ}}}}$である。
(3)aを用いて表すと、$PQ=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ミ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ム}}}}\sqrt{a^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{メ}}}}$である。
(4)四角形ABQPの面積はaを用いて表すと、$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{モ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヤ}}}}{a}^2+\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ユ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヨ}}}}a+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ラ}}}$
であり、その最小値は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{リ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ル}}}}$である。

2019上智大過去問

問題文全文(内容文)：
$\overrightarrow{a}=(4,1-5),\overrightarrow{b}=(2m,1)$が等しいとき,$l,m$の値を求めよ.