福田の数学〜名古屋大学2022年理系第4問〜定積分の極限と方程式の解 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜名古屋大学2022年理系第4問〜定積分の極限と方程式の解

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 関数f(x)は区間x \geqq 0において連続な増加関数でf(0)=1を満たすとする。\\
ただしf(x)が区間x \geqq 0における増加関数であるとは、区間内の任意の実数x_1,x_2に対し\\
x_1 \lt x_2ならばf(x_1) \lt f(x_2)が成り立つ時をいう。以下、nは正の整数とする。\\
(1)\lim_{n \to \infty}\int_0^{2-\frac{1}{n}}\frac{f(x)}{2-x}dx=\infty を示せ。\\
\\
(2)区間y \gt 2 において関数F_n(y)をF_n(y)=\int_{2+\frac{1}{n}}^y\frac{f(x)}{2-x}dxと定めるとき、\\
\\
\lim_{y \to \infty}F_n(y)=\inftyを示せ。また2+\frac{1}{n}より大きい実数a_nで\\
\\
\int_0^{2-\frac{1}{n}}\frac{f(x)}{2-x}dx+\int_{{2+\frac{1}{n}}}^{a_n}\frac{f(x)}{2-x}dx=0\\
\\
を満たすものがただ1つ存在することを示せ。\\
(3)(2)のa_nについて、不等式a_n \lt 4がすべてのnに対して成り立つことを示せ。
\end{eqnarray}

2022名古屋大学理系過去問
単元: #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 関数f(x)は区間x \geqq 0において連続な増加関数でf(0)=1を満たすとする。\\
ただしf(x)が区間x \geqq 0における増加関数であるとは、区間内の任意の実数x_1,x_2に対し\\
x_1 \lt x_2ならばf(x_1) \lt f(x_2)が成り立つ時をいう。以下、nは正の整数とする。\\
(1)\lim_{n \to \infty}\int_0^{2-\frac{1}{n}}\frac{f(x)}{2-x}dx=\infty を示せ。\\
\\
(2)区間y \gt 2 において関数F_n(y)をF_n(y)=\int_{2+\frac{1}{n}}^y\frac{f(x)}{2-x}dxと定めるとき、\\
\\
\lim_{y \to \infty}F_n(y)=\inftyを示せ。また2+\frac{1}{n}より大きい実数a_nで\\
\\
\int_0^{2-\frac{1}{n}}\frac{f(x)}{2-x}dx+\int_{{2+\frac{1}{n}}}^{a_n}\frac{f(x)}{2-x}dx=0\\
\\
を満たすものがただ1つ存在することを示せ。\\
(3)(2)のa_nについて、不等式a_n \lt 4がすべてのnに対して成り立つことを示せ。
\end{eqnarray}

2022名古屋大学理系過去問
投稿日:2022.04.12

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問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(1)\\
\\
y=\frac{x^2}{x-1}\ のグラフを描け。\\
\\
ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
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$\displaystyle\int_p^{f(x)}\frac{a}{u(a-u)}du$=$bx$, 0<$f(x)$<$a$
かつ$f(0)$=$p$を満たす関数$f(x)$を考える。このとき以下の問いに答えよ。
(1)$f(x)$を$a$,$b$,$p$を用いて表せ。
(2)$f(-1)$=$\frac{1}{2}$, $f(1)$=1, $f(3)$=$\frac{3}{2}$のとき、$a$,$b$,$p$を求めよ。
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指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\dfrac{1^4+2^4+3^4+・・・・+n^4}{n^5}$
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