問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large第4問}\\
正の整数mに対して\\
a^2+b^2+c^2+d^2=m,　a \geqq b \geqq c \geqq d \geqq 0　\cdots①\\
を満たす整数a,b,c,dの組がいくつあるかを考える。\\
\\
(1)m=14のとき、①を満たす整数a,b,c,dの組(a,b,c,d)\\
は\\
(\boxed{\ \ ア\ \ },　\boxed{\ \ イ\ \ },　\boxed{\ \ ウ\ \ },　\boxed{\ \ エ\ \ })\\
のただ一つである。\\
また、m=28のとき、①を満たす整数a,b,c,dの組の個数は\\
\boxed{\ \ オ\ \ }個である。\\
\\
(2)aが奇数のとき、整数nを用いてa=2n+1と表すことができる。\\
このとき、n(n+1)は偶数であるから、次の条件が全ての奇数aで成り立つ\\
ような正の整数hのうち、最大のものはh=\boxed{\ \ カ\ \ }である。\\
\\
条件:a^2-1はhの倍数である。\\
\\
よって、aが奇数の時、a^2を\boxed{\ \ カ\ \ }で割った時の余りは1である。\\
また、aが偶数の時、a^2を\boxed{\ \ カ\ \ }で割った時の余りは、0または4の\\
いずれかである。\\
\\
(3)(2)により、a^2+b^2+c^2+d^2が\boxed{\ \ カ\ \ }の倍数ならば、整数a,b,c,d\\
のうち、偶数であるものの個数は\boxed{\ \ キ\ \ }個である。\\
\\
(4)(3)を用いることにより、mが\boxed{\ \ カ\ \ }の倍数であるとき、①を満たす整数\\
a,b,c,dが求めやすくなる。\\
例えば、m=224のとき、①を満たす整数a,b,c,dの組(a,b,c,d)は\\
(\boxed{\ \ クケ\ \ },　\boxed{\ \ コ\ \ },　\boxed{\ \ サ\ \ },　\boxed{\ \ シ\ \ })\\
のただ1つであることが分かる。\\
\\
(5)7の倍数で896の約数である正の整数mのうち、①を満たす整数a,b,c,d\\
の組の個数が\boxed{\ \ オ\ \ }個であるものの個数は\boxed{\ \ ス\ \ }個であり、\\
そのうち最大のものはm=\boxed{\ \ セソタ\ \ }である。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
$a,b,c$は自然数である.
$a^2+b^2=c^2$,$b$が2の累乗が$c$と$b$の差が1である$(a,b,c)$をすべて求めよ.

2018群馬大(医)過去問

問題文全文(内容文)：
$ \sqrt{180-3n}が整数となる最小の①自然数n②正の有理数nを求めよ.$

問題文全文(内容文)：
$ 6･3^{3x}+1=7･5^{2x}$を満たす$0$以上の整数$x$をすべて求めよ。

問題文全文(内容文)：
$a_n=2^n+1$
$a_n$のうち5で割り切れるものを小さい順に並べた数列を$b_k$とする.

(1)$b_k$を推定せよ.
(2)(1)の推定が全ての自然数$k$で成立することを証明せよ.

宮崎大過去問