【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ1 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：
次の曲線の漸近線の方程式を求めよ。
(1)

y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

(2)

y = 2 x + \sqrt{x^{2} - 1}

チャプター：

0:00　オープニング
0:03　漸近線の種類と考え方
2:50　(1)解説
4:12　(2)解説

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の曲線の漸近線の方程式を求めよ。
(1)

y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

(2)

y = 2 x + \sqrt{x^{2} - 1}

投稿日：2025.03.05

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)連立不等式

x ≧ 2, 2^{x} ≦ x^{y} ≦ x^{2}

の表す領域をxy平面上に図示せよ。
ただし、自然対数の底eが

2 < e < 3

を満たすことを用いてよい。
(2)

a > 0

に対して、連立不等式

2 ≦ x ≦ 6, (x^{y} - 2^{x}) (x^{a} - x^{y}) ≧ 0

の表すxy平面上の領域の面積をS(a)とする。

S (a)

を最小にするaの値を求めよ。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{x} \sqrt{1 + {f^{'} (t)}^{2}} d t = - e^{- x} + f (x)

（1）

f (x)

を求めよ。

（2）

\int_{0}^{1} x \sqrt{1 + {f^{'} (x)}^{2}} d x

出典：2015年群馬大学　入試問題

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

T = \frac{(x + y + z)^{3}}{x^{3} + y^{3} + z^{3}}

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0

のとき

T

のとりうる値の範囲を求めよ

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

9

　関数

f (x)

と実数

t

に対し、

x

の関数

t x

f (x)

の最大値があればそれを

g (t)

と書く。
(1)

f (x)

x^{4}

のとき、任意の実数

t

について

g (t)

が存在する。この

g (t)

を求めよ。
以下、関数

f (x)

は連続な導関数

f^{″} (x)

を持ち、次の2つの条件(i),(ii)が成り立つものとする。
(i)

f^{'} (x)

は増加関数、すなわち

a

＜

b

ならば

f^{'} (a)

＜

f^{'} (b)

(ii)

lim_{x \to - \infty} f^{'} (x)

- \infty

　かつ　

lim_{x \to \infty} f^{'} (x)

\infty

(2)任意の実数

t

に対して、

x

の関数

t x

f (x)

は最大値

g (t)

を持つことを示せ。
(3)

s

を実数とする。

t

が実数全体を動くとき、

t

の関数

s t

g (x)

は最大値

f (s)

となることを示せ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

　2つの実数

a

b

は0＜

b

＜

a

を満たすとする。関数

f (x)

\frac{1}{b} (e^{- (a - b) x} - e^{- a x})

の最大値を

M (a, b)

、最大値をとるときの

x

の値を

X (a, b)

と表す。ここで、

e

は自然対数の底である。
(1)

X (a, b)

を求めよ。
(2)極限

lim_{b \to + 0} X (a, b)

　を求めよ。
(3)極限

lim_{b \to + 0} M (a, b)

　を求めよ。

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