福田の数学〜早稲田大学2022年理工学部第5問〜対数関数の極限と変曲点とグラフの接線 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜早稲田大学2022年理工学部第5問〜対数関数の極限と変曲点とグラフの接線

問題文全文(内容文):
${\large\boxed{5}}\ a \gt 0$を定数とし、
$f(x)=x^a\log x$とする。以下の問いに答えよ。
(1)$\lim_{x \to +0}f(x)$を求めよ。必要ならば$\lim_{s \to \infty}se^{-s}=0$が成り立つことは
証明なしに用いてよい。
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点がx軸上に存在するときのaの値を求めよ。
さらにそのとき$y=f(x)$のグラフの概形を描け。
(3)$t \gt 0$に対して、曲線$y=f(x)$上の点(t,f(t))における接線をlとする。
lがy軸の負の部分と交わるための$(a,t)$の条件を求め、その条件の表す領域を
a-t平面上に図示せよ。

2022早稲田大学人間科学部過去問
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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
${\large\boxed{5}}\ a \gt 0$を定数とし、
$f(x)=x^a\log x$とする。以下の問いに答えよ。
(1)$\lim_{x \to +0}f(x)$を求めよ。必要ならば$\lim_{s \to \infty}se^{-s}=0$が成り立つことは
証明なしに用いてよい。
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点がx軸上に存在するときのaの値を求めよ。
さらにそのとき$y=f(x)$のグラフの概形を描け。
(3)$t \gt 0$に対して、曲線$y=f(x)$上の点(t,f(t))における接線をlとする。
lがy軸の負の部分と交わるための$(a,t)$の条件を求め、その条件の表す領域を
a-t平面上に図示せよ。

2022早稲田大学人間科学部過去問
投稿日:2022.07.29

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問題文全文(内容文):
$a_1=2,a_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}a_n+\displaystyle \frac{1}{a_n}$ $n=1,2,3,・・・$で定義される数列$\{a_n\}$について以下の問いに答えよ。
(1)$a_n \gt \sqrt{ 2 }(n=1,2,3,・・・)$を証明せよ。
(2)$a_{n+1}-\sqrt{ 2 } \lt \displaystyle \frac{1}{2}(a_n-\sqrt{ 2 })(n=1,2,3,・・・)$を証明せよ。
(3)$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }a_n$を求めよ。
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問題文全文(内容文):
$a_1=1,a_2=2,n \geqq 3$のとき$a_n=\displaystyle \frac{1}{5}(3a_{n-1}+2a_{n-2})$で定義される数列$\{a_n\}$の極限値を求めよ。
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問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}}\ 座標空間内において、ベクトル\\
\overrightarrow{ a }=(1,2,1), \overrightarrow{ b }=(1,1,-1), \overrightarrow{ c }=(0,0,1)\\
が定める直線\\
l:s\overrightarrow{ a }, l':t\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }\\
を考える。点A_1を原点(0,0,0)とし、点A_1から直線l'に下ろした垂線A_1B_1と\\
おく。次に、点B_1(t_1\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })から直線lに下ろした垂線をB_1A_2とおく。\\
同様に、点A_k(s_k\overrightarrow{ a })から直線l'に下ろした垂線をA_kB_k、点B_k(t_k\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })から直線l\\
に下ろした垂線をB_kA_{k+1}とする手順を繰り返して、点A_n(s_n\overrightarrow{ a }),B_n(t_n\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })\\
(nは正の整数)を定める。\\
(1)s_nを用いてs_{n+1}を表せ。\\
(2)極限値S=\lim_{n \to \infty}s_n, T=\lim_{n \to \infty}t_nを求めよ。\\
(3)(2)で求めたS,Tに対して、点A,BをそれぞれA(S\overrightarrow{ a }),B(T\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })とおくと、\\
直線ABは2直線l,l'の両方と直交することを示せ。
\end{eqnarray}

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次の不等式を解け。
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