問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III}　変化率(2)　水の問題(1)\\
y=x^2　をy軸の周りに回転させてできる容器に、\\
毎秒1cm^3の割合で水を入れる。水面の半径が\\
3cmになったときの水面の上昇速度と水面の面積の増加速度を求めよ。\\
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{1}}\ 関数f(x)が\hspace{280pt}\\
f(x)=\int_0^{\pi}tf(t)\cos(x+t)dt+\frac{1}{4}\\
を満たしている。このとき、\\
A= \int_0^{\pi}tf(t)\cos tdt,\ \ \ B=\int_0^{\pi}tf(t)\sin tdt\ \ \ \ ... ①\\
とおいてf(x)をAとBで表すと、\\
f(x)=A×(\ \ \ \boxed{\ \ ア\ \ }\ \ \ )+B×(\ \ \ \boxed{\ \ イ\ \ }\ \ \ )+\frac{1}{4}\ \ \ \ ... ②\\
となる。ここで、\\
\\
\\
\int_0^{\pi}t\cos tdt=-2,\ \ \ \int_0^{\pi}t\cos^2 tdt=\boxed{\ \ ウ\ \ },\ \ \ \int_0^{\pi}t\sin tdt=\pi,\ \ \ \\
\int_0^{\pi}t\sin^2 tdt=\boxed{\ \ エ\ \ },\ \ \ \int_0^{\pi}t\cos t\sin tdt=\boxed{\ \ オ\ \ } \\
\\
\\
を用い、①に②を代入して整理すると、AとBの満たす連立方程式\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
(\ \ \ \boxed{\ \ カ\ \ }\ \ \ )A-\pi B+2=0\\
\pi A +(\ \ \ \boxed{\ \ キ\ \ }\ \ \ )B-\pi = 0\\
\end{array}
\right.\\
\\
が得られる。この連立方程式を解くと\\
A=\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\pi^4-\pi^2-16},\ \ \ B=\frac{\pi (\ \ \ \boxed{\ \ ケ\ \ }\ \ \ )}{\pi^4-\pi^2-16}\\
が得られ、したがって\\
f(x)= \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\pi^4-\pi^2-16}×(\ \ \ \boxed{\ \ ア\ \ }\ \ \ )+\frac{\pi (\ \ \ \boxed{\ \ ケ\ \ }\ \ \ )}{\pi^4-\pi^2-16}×(\ \ \ \boxed{\ \ イ\ \ }\ \ \ )+\frac{1}{4}\\
となる。
\\
\\
\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ イ\ \ }の解答群\\
ⓐ\sin x\ \ \ ⓑ-\sin x\ \ \ ⓒ\cos x\ \ \ ⓓ-\cos x\ \ \
ⓔ\tan x\ \ \ ⓕ-\tan x\ \ \ \\
\\
\\
\boxed{\ \ ウ\ \ },\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ }の解答群\\
ⓐ\pi \ \ \ ⓑ\frac{\pi}{2}\ \ \ ⓒ\frac{\pi}{4}\ \ \ ⓓ\frac{\pi}{8}\ \ \ ⓔ-\pi \ \ \ \\
ⓕ-\frac{\pi}{2}\ \ \ ⓖ-\frac{\pi}{4}\ \ \ ⓗ-\frac{\pi}{8}\ \ \ ⓘ\pi^2 \ \ \ ⓙ\frac{\pi^2}{2}\ \ \ \\
ⓚ\frac{\pi^2}{4}\ \ \ ⓛ\frac{\pi^2}{8}\ \ \ ⓜ-\pi^2 \ \ \ ⓝ-\frac{\pi^2}{2}\ \ \ ⓞ-\frac{\pi^2}{4}\ \ \ \\
ⓟ-\frac{\pi^2}{8}\ \ \ ⓠ\frac{\pi^2+4}{16}\ \ \ ⓡ\frac{\pi^2-4}{16}\ \ \ ⓢ\frac{-\pi^2+4}{16}\ \ \ ⓣ-\frac{\pi^2+4}{16}\ \ \ \\
\\
\\
\boxed{\ \ カ\ \ },\boxed{\ \ キ\ \ },\boxed{\ \ ク\ \ },\boxed{\ \ ケ\ \ }の解答群\\
ⓐ\pi^2+2\ \ \ ⓑ\pi^2-2\ \ \ ⓒ-\pi^2+2\ \ \ ⓓ-\pi^2-2\ \ \ \\
ⓔ\pi^2+4\ \ \ ⓕ\pi^2-4\ \ \ ⓖ-\pi^2+4\ \ \ ⓗ-\pi^2-4\ \ \ \\
ⓘ\pi^2+6\ \ \ ⓙ\pi^2-6\ \ \ ⓚ-\pi^2+6\ \ \ ⓛ-\pi^2-6\ \ \ \\
ⓜ\pi^2+8\ \ \ ⓝ\pi^2-8\ \ \ ⓞ-\pi^2+8\ \ \ ⓟ-\pi^2-8\ \ \ \\
\end{eqnarray}

2022中央大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
○を原点とするxyz空間において、点Pと点Qは次の3つの条件(a), (b), (c)を満たしている。

(a) 点Pはx軸上にある。

(b) 点Qはyz平面上にある。

(c) 線分OPと線分OQの長さの和は1である。

点Pと点Qが条件(a), (b), (c)を満たしながらくまなく動くとき、線分PQが通過してできる立体 の体積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{24}} \sin x\cos x\cos 2x dx$

出典：2024年福島大学

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}\hspace{240pt}$
(1)$a$は$0 \lt a \leqq \displaystyle \frac{1}{2}$を満たす定数とする。$x \geqq 0$の範囲で不等式
$a\left(x-\displaystyle \frac{x^2}{4}\right) \leqq \log(1+ax)$　が成り立つことを示しなさい。

(2)$b$を実数の定数とする。$x \geqq 0$の範囲で不等式
$\log\left(1+\displaystyle \frac{1}{2}x\right) \leqq bx$
が成り立つような$b$の最小値は$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。

(3)$n$と$k$を自然数とし、$I(n,k)=\lim_{t \to +0}\int_0^{\displaystyle \frac{k}{n}}\displaystyle \frac{\log\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}tx\right)}{t(1+x)}dx$
とおく。$I(n,k)$を求めると、$I(n,k)=\boxed{\ \ チ\ \ }$である。また
$\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nI(n,k)=\boxed{\ \ ツ\ \ }$　である。