福田の数学・入試問題解説〜東北大学2022年理系第４問〜2つの直線に接し互いに外接する２つの円の性質

問題文全文(内容文)：
xy平面の第1象限内において、直線

l : y = m x (m > 0)

とx軸の両方に
接している半径aの円をCとし、円Cの中心を通る直線

y = t x (t > 0)

を考える。
また、直線lとx軸、および、円Cの全てにそれぞれ1点で接する円の半径をbとする。
ただし、

b > a

とする。
(1)mを用いてtを表せ。
(2)tを用いて

\frac{b}{a}

を表せ。
(3)極限値

lim_{m \to + 0} \frac{1}{m} (\frac{b}{a} - 1)

を求めよ。

2022東北大学理系過去問

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
xy平面の第1象限内において、直線

l : y = m x (m > 0)

とx軸の両方に
接している半径aの円をCとし、円Cの中心を通る直線

y = t x (t > 0)

を考える。
また、直線lとx軸、および、円Cの全てにそれぞれ1点で接する円の半径をbとする。
ただし、

b > a

とする。
(1)mを用いてtを表せ。
(2)tを用いて

\frac{b}{a}

を表せ。
(3)極限値

lim_{m \to + 0} \frac{1}{m} (\frac{b}{a} - 1)

を求めよ。

2022東北大学理系過去問

投稿日：2022.03.21

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

　αは0＜α≦

\frac{π}{2}

を満たす定数とし、四角形ABCDに関する次の2つの条件を考える。
(i)四角形ABCDは半径1の円に内接する。
(ii)

∠

ABC=

∠

DAB=α
条件(i)(ii)を満たす四角形のなかで、4辺の長さの積
k=AB・BC・CD・DA
が最大となるものについて、kの値を求めよ。

2018京都大学理系過去問

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

II

　三角関数(7)　三角方程式

0 ≦ x ≦ 2 π, 0 ≦ y ≦ 2 π

において

\cos y = \sin 2 x

　のグラフを描け。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(1)任意の

θ

に対して、

- 2 ≦ x \cos θ + y \sin θ ≦ y + 1

　が成立するような
点(x,y)の全体からなる領域をxy平面上に図示し、その面積を求めよ。

(2)任意の角

α, β

に対して、

- 1 ≦ x^{2} \cos α + y \sin β ≦ 1

が成立するような
点(x,y)の全体からなる領域をxy平面上に図示し、その面積を求めよ。

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

0 ≦ x ≦ π

のとき、方程式

\cos 2 x + 4 a \sin x + a - 2 = 0

が異なる2つの解をもつための

a

の範囲

出典：1988年長崎大学医学部　過去問

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
和歌山大学過去問題

a_{1} = 2 \sin^{2} \frac{θ}{2}

a_{2} = 2 \cos θ \sin^{2} \frac{θ}{2}

2 (c o s^{2} \frac{θ}{2}) a_{n + 1} = a_{n + 2} + (\cos θ) a_{n}

a_{n}

を

\cos θ

を用いて表せ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学・入試問題解説〜東北大学2022年理系第４問〜2つの直線に接し互いに外接する２つの円の性質

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