福田の1日1題わかった数学〜高校2年生第1回〜高次方程式 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の1日1題わかった数学〜高校2年生第1回〜高次方程式

問題文全文(内容文):
数学$\textrm{II}$ 高次方程式
3次方程式$x^3+ax+b=0$の
3つの解を$\alpha,\beta,\gamma$とし、
$t_n=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n$
のとき、$at_5+bt_4$を$a,b$で表せ。
単元: #数Ⅱ#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
数学$\textrm{II}$ 高次方程式
3次方程式$x^3+ax+b=0$の
3つの解を$\alpha,\beta,\gamma$とし、
$t_n=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n$
のとき、$at_5+bt_4$を$a,b$で表せ。
投稿日:2021.04.08

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問題文全文(内容文):
$\theta=\displaystyle \frac{2}{9}\pi, \alpha=\cos \theta+i \sin \theta$
$\beta=\alpha+\alpha^8$

(1)
$\beta$は実数であることを示せ


(2)
$\beta$は整数係数の三次方程式の解である。
その方程式を求めよ。

(3)
(2)で求めた方程式は有理数の解をもたないことを示せ。

出典:2004年東京慈恵会医科大学 過去問
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指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=1$の4つの解を$\alpha,\beta,\gamma,\delta$とする.
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3+\delta^3$の値を求めよ.
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問題文全文(内容文):
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0<k<1
$f(x)=x(x-3k)^2$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値。
また最大値が$\frac{1}{2}$のときkの値
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問題文全文(内容文):
$f(\theta)=\sin2\theta+\sin\theta-\cos\theta+k\ (0\leqq \theta\leqq \pi)$
$f(\theta)=0$が異なる3つの解をもつような$k$の範囲を求めよ.
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