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$y$が$u$の関数で$y=g(u)$と表され、$u$が$x$の関数で$u=f(x)$と表されるとき、
$y$は$x$の関数で$y=g(f(x))$と表され、これを$f$と$g$の合成関数という。
また、$y=g(f(x))$を$y=①$と表す。

②$f(x)= 4x ^ 2 、g(x) = -\dfrac{1}{2} (x + 1)$であるとき、
合成関数$(gof)(x)、(fog)(x)$をそれぞれ求めなさい。

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特殊な関数の極限の求め方を解説します。

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$\Large{\boxed{5}}$ xy平面において、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。また、実数aに対して、a以下の最大の整数を[a]で表す。記号[ ]をガウス記号という。
以下の問いではNを自然数とする。
(1) nを0 $\leqq$ n $\leqq$ Nを満たす整数とする。点(n, 0)と点(n,　N$\sin\left(\displaystyle\frac{\pi x}{2N}\right)$)を結ぶ線分上にある格子点の個数をガウス記号を用いて表せ。
(2) 直線y=xと、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある格子点の個数をA(N)とおく。このときA(N)を求めよ。
(3) 曲線y=N$\sin\left(\displaystyle\frac{\pi x}{2N}\right)$(0 $\leqq$ x $\leqq$ N)と、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある格子点の個数をB(N)とおく。(2)のA(N)に対して$\displaystyle\lim_{N \to \infty}\frac{B(N)}{A(N)}$を求めよ。

2017筑波大学理系過去問

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弘前大学過去問題
n自然数
$x^3+3nx^2-(3n+2)=0$
(1)全ての自然数nについて正の解をただ１つしかもたないことを示せ。
(2)各自然数nに対して正の解を$a_n$とする。
　$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ。

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極限の考え方の基本です。変形が必要な場合と必要でない場合の違いをチェックしましょう！