【数Ⅲ】【微分とその応用】不等式の応用4 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：

x \to \infty

のとき、

y = x

が

y = \log x

と比較して、
より急速に増大すること、すなわち

lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log x} = \infty

が成り立つことを証明せよ。

ただし、まずは次の①～③のどれか１つを証明し、それを利用せよ。

①

x ≧ 4

のとき、

x^{2} ＞ \log x

が成り立つ
②

x ≧ 4

のとき、

x ＞ \log x

が成り立つ
③

x ≧ 4

のとき、

\sqrt{x} ＞ \log x

が成り立つ

チャプター：

0:00　問題概要
1:11　③の証明
3:07　証明の解説

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

x \to \infty

のとき、

y = x

が

y = \log x

と比較して、
より急速に増大すること、すなわち

lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log x} = \infty

が成り立つことを証明せよ。

ただし、まずは次の①～③のどれか１つを証明し、それを利用せよ。

①

x ≧ 4

のとき、

x^{2} ＞ \log x

が成り立つ
②

x ≧ 4

のとき、

x ＞ \log x

が成り立つ
③

x ≧ 4

のとき、

\sqrt{x} ＞ \log x

が成り立つ

投稿日：2025.01.22

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\begin{array}{r} 数 学 III 関 数 の 連 続 性 (2) \\ f (x) = [x^{2}] (x + 1) \\ は x = 0 で 連 続 か ま た 、 x = 1 で 連 続 か 、 調 べ よ 。 \end{array}

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

整式f(x)=

(x - 1)^{2} (x - 2)

を考える。
(1)g(x)を実数を係数とする整式とし、g(x)をf(x)で割った余りをr(x)とおく。

g (x)^{7}

をf(x)で割った余りと

r (x)^{7}

をf(x)で割った余りが等しいことを示せ。
(2)a,bを実数とし、h(x)=

x^{2}

+ax+b　とおく。

h (x)^{7}

をf(x)で割った余りを

h_{1} (x)

とおき、

h_{1} (x)^{7}

をf(x)で割った余りを

h_{2} (x)

とおく。

h_{2} (x)

がh(x)に等しくなるようなa,bの組を全て求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　tを正の実数とする。

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 3 (t^{2} - 1) x + 2 t^{3} - 3 t^{2} + 1

とおく。
以下の問いに答えよ。
(1)2t^3-3t^2+1　を因数分解せよ。
(2)

f (x)

が極小値0をもつことを示せ。
(3)

- 1 ≦ x ≦ 2

における

f (x)

の最小値

m

と最大値

M

をtの式で表せ。

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問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(速度と道のり②・平面運動編)

ポイント
平面上を運動する点

P

の座標

(x, y)

が、時刻

t

の関数

x = f (t)

、

y = g (t)

で表されるとき、点

P

が時刻

t = a

から

t = b

までの間に通過する道のり

S

は

S =

①

②
平面上を動く点

P

の時刻における座標

(x, y)

が

x = t - \sin t

、

y = 1 - \cos t

で与えられている。
このとき、

t = 0

から

t = π

までの間に点

P

の動いた道のりを求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

a

b

を正の実数、

p

を

a

より小さい正の実数とし、すべての実数

x

について

\int_{p}^{f (x)} \frac{a}{u (a - u)} d u

b x

,　0＜

f (x)

＜

a

かつ

f (0)

p

を満たす関数

f (x)

を考える。このとき以下の問いに答えよ。
(1)

f (x)

を

a

b

p

を用いて表せ。
(2)

f (- 1)

\frac{1}{2}

f (1)

=1,　

f (3)

\frac{3}{2}

のとき、

a

b

p

を求めよ。
(3)(2)のとき、

lim_{x \to - \infty} f (x)

lim_{x \to \infty} f (x)

　を求めよ。

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