円周率πが無理数であることの証明（数III）

問題文全文(内容文)：
定理(1947,IvanNiren)
πは無理数である

補題1　

^{\forall} a \in R

lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0

(n \in N)

補題2

f (x) = \frac{1}{n!} p^{n} x^{n} (π - x)^{n}

(p, n \in N)

nが十分大きいとき

0 < \int_{0}^{π} f (x) d x < 1

単元： #関数と極限#積分とその応用#数列の極限#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
定理(1947,IvanNiren)
πは無理数である

補題1　

^{\forall} a \in R

lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0

(n \in N)

補題2

f (x) = \frac{1}{n!} p^{n} x^{n} (π - x)^{n}

(p, n \in N)

nが十分大きいとき

0 < \int_{0}^{π} f (x) d x < 1

投稿日：2020.10.11

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
関数f(x)は実数全体で定義されており、

x ≦ 2

において

\frac{2}{3} - \frac{1}{3} x ≦ f (x) ≦ 2 - x

を満たしているものとする。数列{

a_{n}

}は漸化式

a_{n + 1} = a_{n} + f (a_{n})

を満たしているものとする。
(i)

a_{1} ≦ 2

ならば、すべての自然数nに対して、

a_{1} ≦ a_{n} ≦ 2

となる事を証明しなさい。
(ii)

a_{1} ≦ 2

ならば、

a_{1}

の値によらず

lim_{n \to \infty} a_{n} = 2

となる事を証明しなさい。

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目で見てわかる収束の値

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問題文全文(内容文)：

\frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{4^{3}} + \frac{1}{4^{4}} + ･ ･ ･ ･ ･ ･ + \frac{1}{4^{n}}

これは収束する値か?

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問題文全文(内容文)：

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} l o g (x + 1) - l o g 2}{x - 1}

出典：2014年電気通信大学

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問題文全文(内容文)：

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} + x - 2}

を求めよ.

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

自然数

n

に対し,

f_{n} (x) = x^{- 1 + \frac{1}{n}} (x > 0)

とおく.
また,正の実数

a_{n}

は

\int_{1}^{a_{n}} f_{n} (x) d x = 1

満たすものとする.次の問い　
答えよ.

(1)関数

f_{n} (x)

の不定積分を求めよ.

(2)

a_{n}

の値と極限

lim_{n \to \infty} a_{n}

を求めよ.また,正の実数

b_{n}

が

\int_{1}^{b_{n}} f_{n + 1} (x) d x = - 1

を満たすとき,

b_{n}

の値と極限

lim_{n \to \infty} b_{n}

を求めよ.

(3)2以上の自然数

k

に対して

\int_{k - 1}^{k} f_{n} (x) d x > \frac{1}{k}

を示し,これを利用して

a_{n} < 4

を証明せよ.

(4)

\int_{1}^{a_{n}} f_{n + 1} (x) d x < 1

を示し,これを利用して$a_n\lt a_{n+1}＄を証明せよ.

2021中央大理工学部過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 円周率πが無理数であることの証明（数III）

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