問題文全文(内容文)：
(1)${\displaystyle \frac{y}{x}}+{\displaystyle \frac{x}{y}}\geqq 2$を示せ.等号成立するか?
(2)n個の正実数$a_1････a_n(a_1+･･･a_n)({\displaystyle \frac{1}{a_1}}+････+{\displaystyle \frac{1}{a_n}})\geqq n^2$
を示せ。等号成立はするか?

問題文全文(内容文)：
不等式の証明での注意点について解説します。

問題文全文(内容文)：
定積分について述べた次の文章を読んで、後の問いに答えよ。
区間$a\leqq x\leqq b$で連続な関数f(x)に対して$F^{\prime }(x)=f(x)$となる$F(x)$を1つ選び、
$f(x)$のaからbまでの定積分を
${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) \dots \mathrm{①}$
で定義する。定積分の値はF(x)の選び方によらずに定まる。
定積分は次の性質(A),(B),(C)をもつ。
(A)${\int }_a^b\{kf(x)+lg(x)\}dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx+l{\int }_a^{b}g(x)dx$
(B)$a\leqq c\leqq b$のとき、${\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx$
(C)区間$a\leqq x\leqq b$において$g(x)\geqq h(x)$ならば、${\int }_a^{b}g(x)dx\geqq {\int }_a^{b}h(x)dx$
ただし、$f(x),g(x),h(x)$は区間$a\leqq x\leqq b$で連続な関数、$k,l$は定数である。
以下、$f(x)$を区間$0\leqq x\leqq 1$で連続な増加関数とし、
nを自然数とする。定積分の性質$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$を用い、定数関数に対する定積分の計算を行うと、
$\frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n})\leqq {\int }_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx\leqq \frac{1}{n}f(\frac{i}{n}) (i=1,2,\dots ,n) \dots \mathrm{②}$
が成り立つことがわかる。$S_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(\frac{i-1}{n})$とおくと、
不等式②と定積分の性質$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$より次の不等式が成り立つ。
$0\leqq {\int }_0^{1}f(x)dx-S_n\leqq \frac{f(1)-f(0)}{n} \dots \mathrm{③}$
よって、はさみうちの原理より$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n={\int }_0^{1}f(x)dx$が成り立つ。

(1)関数F(x),G(x)が微分可能であるとき、${\{F(x)+G(x)\}}^{\prime }=F^{\prime }(x)+G^{\prime }(x)$が
成り立つことを、導関数の定義に従って示せ。
また、この等式と定積分の定義①を用いて、性質(A)で$k=l=1$とした場合の等式
${\int }_a^b\{f(x)+g(x)\}dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$　を示せ。
(2)定積分の定義①と平均値の定理を用いて、次を示せ。
$a<b$のとき、区間$a\leqq x\leqq b$において$g(x)>0$ならば、${\int }_a^{b}g(x)dx>0$
(3)(A),(B),(C)のうち、空欄$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$に入る記号として最もふさわしいものを
1つ選び答えよ。また、文章中の下線部の内容を詳しく説明することで、
不等式②を示せ。
(4)(A),(B),(C)のうち、空欄$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$に入る記号として最もふさわしいものを
1つ選び答えよ。また、不等式③を示せ。

2022九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
aを定数とする。
3次式 $F(x)=x^3-6x+a$を2次式$G(x)=x^2-3x+2$で割った余りを$R(x)$ とする。
G(x)がR(x)で割り切れるようなaの値をすべて求めよ。

2022立教大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
${\alpha }^2+3\alpha +3=0$のとき,
(1)$(\alpha +1{)}^2(\alpha +2{)}^5=\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.1.0/svg/25fb.svg">}$
$(\alpha +2{)}^s(\alpha +3{)}^t=3$となる整数$s,t$の組をすべて求めよ.
(2)$(x+1{)}^3(x+2{)}^2$を$x^2+3x+3$で割った商と余りを求めよ.
$(x+1{)}^{2021}$を$x^2+3x+3$で割った余りを求めよ.

2021慶應(理)