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数Ⅲ(関数の極値③)
Q.次の極値を求めなさい。

①$f(x)=x+ 2\cos x(0\leqq x\leqq \pi)$

➁$f(x)=\sin x(1+ \cos x)(0\leqq x\leqq 2\pi)$

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　次のことが成り立つことを証明せよ。

(1)　$b≧a>0$のとき　$logb-loga≧\displaystyle \frac{2(b-a)}{(b+a)}$

(2)　$0＜α＜β≦\displaystyle \frac{π}{2}$のとき　$\displaystyle \frac{α}{β}<\displaystyle \frac{sin α}{sin β}$

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(1) 関数 $f(x) = \sin^{11} x$ の $-\pi \leqq x \leqq \pi$ における極大値は $x = $ [ア] $\pi$ のとき [イ] であり，極小値は $x = $ [ウ] $\pi$ のとき [エ] である。
また，曲線 $y = f(x)$ の $5$ つある変曲点の $x$ 座標を小さい順に $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ とするとき，
$\sum_{k=1}^{5} \cos^2 \alpha_k = \frac{[\text{オカ}]}{[\text{キク}]}$である。
(2) $0$ 以上の整数 $m, n$ に対して，
$S_{m,n} = \int_{-1}^{1} (1-x)^m (1+x)^n \, dx$
とすると，
$S_{3,1} = \frac{[\text{ケ}]}{[\text{コ}]}$である。
また，$n$ を $1$ 以上の整数とするとき，$S_{m,n}$ を $S_{m+1,n-1}$ を用いて表すと，
$S_{m,n} = \frac{[\text{サ}]}{[\text{シ}]} S_{m+1,n-1}$である。（選択肢略）
また，$S_{5,5} = \frac{[\text{スセソ}]}{[\text{タチツ}]}$である。
(3) (1)において，$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲で $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸および直線 $x = \frac{\pi}{2}$ で囲まれる部分の面積は $\frac{[\text{テトナ}]}{[\text{ニヌネ}]}$ である。

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次の等式を、数学的帰納法によって証明せよ。$\frac{d^n}{dx^n} \log x = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n}$

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$e^π$と$π^e$どっちがでかい？