単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#指数関数と対数関数#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large第1問}\\
[1] (1)\log_{10}10=\boxed{\ \ ア\ \ }である。また、\log_{10}5,\log_{10}15をそれぞれ\\
\log_{10}2と\log_{10}3を用いて表すと\\
\log_{10}5=\boxed{\ \ イ\ \ }\log_{10}2+\boxed{\ \ ウ\ \ }\\
\log_{10}15=\boxed{\ \ エ\ \ }\log_{10}2+\log_{10}3+\boxed{\ \ オ\ \ }\\
(2)太郎さんと花子さんは、15^{20}について話している。\\
以下では、\log_{10}2=0.3010、\log_{10}3=0.4771とする。\\
\\
太郎:15^{20}は何桁の数だろう。\\
花子:15の20乗を求めるのは大変だね。\log_{10}15^{20}の整数部分に\\
着目してみようよ。\\
\\
\log_{10}15^{20}は\\
\boxed{\ \ カキ\ \ } \lt \log_{10}15^{20} \lt \boxed{\ \ カキ\ \ }+1\\
を満たす。よって、15^{20}は\boxed{\ \ クケ\ \ }桁の数である。\\
\\
太郎:15^{20}の最高位の数字も知りたいね。だけど、\log_{10}15^{20}の\\
整数部分にだけ着目してもわからないな。\\
花子:N・10^{\boxed{カキ}} \lt 15^{20} \lt (N+1)・10^{\boxed{カキ}}を満たすような\\
正の整数Nに着目してみたらどうかな。\\
\\
\log_{10}15^{20}の小数部分は\log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ }であり\\
\log_{10}\boxed{\ \ コ\ \ } \lt \log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ } \lt \log_{10}(\boxed{\ \ コ\ \ }+1)\\
が成り立つので、15^{20}の最高位の数字はboxed{\ \ サ\ \ }である。\\
\\
\\
[2]座標平面上の原点を中心とする半径1の円周上に3点P(\cos\theta,\sin\theta),\\
Q(\cos\alpha,\sin\alpha),R(\cos\beta,\sin\beta)がある。ただし、0 \leqq \theta \lt \alpha \lt \beta \lt 2\pi\\
とする。このとき、sとtを次のように定める。\\
s=\cos\theta+\cos\alpha+\cos\beta, t=\sin\theta+\sin\alpha+\sin\beta\\
\\
(1)\triangle PQRが正三角形や二等辺三角形のときのsとtの値について考察しよう。\\
考察1:\triangle PQRが正三角形である場合を考える。\\
この場合、\alpha,\betaを\thetaで表すと\\
\alpha=\theta+\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{3}\pi, \beta=\theta+\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{3}\pi\\
であり、加法定理により\\
\cos\alpha=\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}, \sin\alpha=\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}\\
である。同様に、\cos\betaおよび\sin\betaを、\sin\thetaと\cos\thetaを用いて表すことができる。\\
これらのことから、s=t=\boxed{\ \ タ\ \ }である。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }},\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta ①\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\frac{1}{2}\cos\theta \\
②\frac{1}{2}\sin\theta-\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta ③\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta \\
④-\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta ⑤-\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\frac{1}{2}\cos\theta \\
②-\frac{1}{2}\sin\theta-\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta ③-\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta \\
\\
考察2:\triangle PQRがPQ=PRとなる二等辺三角形である場合を考える。\\
\\
例えば、点Pが直線y=x上にあり、点Q,Rが直線y=xに関して対称\\
であるときを考える。このとき、\theta=\frac{\pi}{4}である。また、\alphaは\\
\alpha \lt \frac{5}{4}\pi, \betaは\frac{5}{4}\pi \lt \betaを満たし、点Q,Rの座標について、\\
\sin\beta=\cos\alpha, \cos\beta=\sin\alphaが成り立つ。よって\\
s=t=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ チ\ \ }}}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}+\sin\alpha+\cos\alpha\\
である。\\
ここで、三角関数の合成により\\
\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{\boxed{\ \ テ\ \ }}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{\boxed{\ \ ト\ \ }}\right)\\
である。したがって\\
\\
\alpha=\frac{\boxed{\ \ ナニ\ \ }}{12}\pi, \beta=\frac{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}{12}\pi\\
\\
のとき、s=t=0である。\\
\\
(2)次に、sとtの値を定めるときの\theta,\alpha,\betaの関係について考察しよう。\\
考察3:s=t=0の場合を考える。\\
\\
この場合、\sin^2\theta+\cos^2\theta=1により、\alphaと\betaについて考えると\\
\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}\\
である。\\
同様に、\thetaと\alphaについて考えると\\
\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha=\frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}\\
であるから、\theta,\alpha,\betaの範囲に注意すると\\
\beta-\alpha=\alpha-\theta=\frac{\boxed{\ \ フ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘ\ \ }}\pi\\
という関係が得られる。\\
\\
(3)これまでの考察を振り返ると、次の⓪～③のうち、\\
正しいものは\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}であることが分かる。\\
\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}の解答群\\
⓪\triangle PQRが正三角形ならばs=t=0であり、s=t=0ならば\\
\triangle PQRは正三角形である。\\
①\triangle PQRが正三角形ならばs=t=0であり、s=t=0で\\
あっても\triangle PQRは正三角形でない場合がある。\\
②\triangle PQRが正三角形であってもs=t=0でない場合があるが\\
s=t=0ならば\triangle PQRは正三角形である。\\
③\triangle PQRが正三角形であってもs=t=0でない場合があり、\\
s=t=0であっても\triangle PQRが正三角形でない場合がある。
\end{eqnarray}
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