【高校数学】階差数列の一般項～どこよりも丁寧に～ 3-9【数学B】

問題文全文(内容文)：

a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k}

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：

a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k}

投稿日：2022.06.18

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問題文全文(内容文)：

a_{1} = a_{2} = 1

a_{n + 2} - 5 a_{n + 1} + 6 a_{n} - 6 n = 0

である.
一般項を求めよ.

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単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる数列

{x_{n}}, {y_{n}}

を考える。

x_{1} = 1, y_{1} = 5

x_{n + 1} = x_{n} + y_{n}

y_{n + 1} = 5 x_{n} + y_{n} (n = 1, 2, ・ ・ ・)

次の問いに答えよ。
（1）

a_{n} = x_{n} + c y_{n}

とおいたとき、数列

{a_{n}}

が等比数列となるように定数

c

の値を定め、

a_{n}

を

n

の式で表せ。

（2）

x_{n}

および

y_{n}

を

n

の式で表せ。

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福田の数学〜上智大学2022年理工学部第３問〜複素数平面上の点列と三角形の相似

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
複素数からなる数列

z_{n}

を、次の条件で定める。

z_{1} = 0, z_{n + 1} = (1 + i) z_{n} - i (i = 1, 2, 3, . . .)

正の整数nに対し、z_nに対応する負素数平面上の点をA_nとおく。
(1)

z_{2} = ツ + ツ i, z_{3} = ト +

ナ i, z_{4} = 二 + ヌ i

である。
(2)

r > 0, 0 ≦ θ < 2 π

を用いて、

1 + i = r (\cos θ + i \sin θ)

のように

1 + i

を極形式で
表すとき、

r = \sqrt{ネ}, θ = \frac{ノ}{ハ} π

である。
(3)すべての正の整数nに対する

△ P A_{n} A_{n + 1}

が互いに相似になる点Pに対応する
複素数は、

ヒ + フ i

である。
(4)

| z_{n} | > 1000

となる最小のnは

n = へ

である。
(5)

A_{2022 + k}

が実軸上にある最小の正の整数kは

k = ホ

である。

2022上智大学理工学部過去問

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福田の数学〜慶應義塾大学2021年経済学部第３問〜数列の部分和と一般項の関係

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

　数列

{a_{n}}

に対して、

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} (n = 1, 2, 3, \dots)

とおく。

{a_{n}}

は、

a_{2} = 1, a_{6} = 2

および
(*)

S_{n} = \frac{(n - 2) (n + 1)^{2}}{4} a_{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)

を満たすとする。

(1)

a_{1} = - ア

である。(*)で

n = 4, 5

とすると、

a_{3} + a_{4}

と

a_{5}

の関係が2通り定まり、

a_{5} = イ

と求まる。さらに(*)で

n = 3

として、

a_{3} = ウ エ, a_{4} = オ カ

と求まる。

(2)

n ≧ 2

に対して

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

であるから(*)とあわせて

(n - キ) (n + ク)^{2} a_{n + 1} = (n^{3} - ケ n^{2} + コ) a_{n} (n = 2, 3, \dots)

ゆえに、

n ≧ 3

ならば

(n + サ) a_{n + 1} = (n - シ) a_{n}

となる。そこで、

n ≧ 3

に
対して

b_{n} = (n - r) (n - s) (n - t) a_{n}

とおくと、漸化式

b_{n + 1} = b_{n} (n z - 3, 4, 5, \dots)

が成り立つ。ただしここに、

r < s < t

として

r = ス, s = セ, t = ソ

である。
したがって、

n ≧ 4

に対して

a_{n} = \frac{ソ a_{4}}{(n - r) (n - s) (n - t)}

となる。この式は

n = 3

の時も成立する。

(3)

n ≧ 2

に対して

S_{n} = \frac{チ ツ (n + テ) (n - ト)}{n (n - ナ)}

であるから、

S_{n} ≧ 59

となる最小の

n

は

n = ニ ヌ

である。

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問題文全文(内容文)：
2016年　佐賀大学過去問

0 ＜ P ＜ 1

a_{1} = 1

a_{2} = 2

a_{n + 2} = (1 - P) a_{n + 1} + P a_{n}

a_{n}

の一般項を求めよ。

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