福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題017〜東北大学2016年度理系数学第６問〜定積分で表された関数

問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \int_{0}^{π} | \sin (t - x) - \sin 2 t | d t

の区間

0 ≦ x ≦ π

における最大値と最小値を求めよ。

2016東北大学理系過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \int_{0}^{π} | \sin (t - x) - \sin 2 t | d t

の区間

0 ≦ x ≦ π

における最大値と最小値を求めよ。

2016東北大学理系過去問

投稿日：2022.12.02

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　グラフを描こう(14)

y = \frac{1}{2} \sin 2 x - 2 \sin x + x (0 ≦ x ≦ 2 π)

のグラフを描け。凹凸、漸近線も調べよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　自然数nに対し、定積分

I_{n}

\int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{x^{2} + 1} d x

を考える。このとき、次の問いに答えよ。
(1)

I_{n}

I_{n + 2}

\frac{1}{n + 1}

を示せ。
(2)0≦

I_{n + 1}

≦

I_{n}

≦

\frac{1}{n + 1}

を示せ。
(3)

lim_{n \to \infty} n I_{n}

　を求めよ。
(4)

S_{n}

\sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{2 k}

　とする。このとき(1), (2)を用いて

lim_{n \to \infty} S_{n}

　を求めよ。

2018名古屋大学理系過去問

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福田の数学〜明治大学2021年理工学部第１問(4)〜定積分で表された関数と変曲点

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(4)連続関数

f (x)

は区間

x ≧ 0

で正の値をとり、区間

x > 0

で微分可能
かつ

f^{'} (x) \neq 0

であるとする。さらに、実数の定数aと関数

f (x)

が

\int_{0}^{x} 3 t^{2} f (t) d t - (x^{3} + 3) f (x) + \log f (x) = a (x ≧ 0)

を満たすとする。このとき

a = - ヌ - \log ネ

である。また、曲線

y = f (x) (x > 0)

の変曲点のx座標をpとすると

p^{3} = \frac{ノ}{ハ}

である。ただし、

\log x

は

x

の自然対数である。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
定義に従って

f (x) = \log x

を微分せよ.

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題020〜東京工業大学2016年度理系数学第５問〜媒介変数で表された曲線の追跡と面積

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
次のように媒介変数表示されたxy平面上の曲線をCとする。

{\begin{matrix} x = 3 \cos t - \cos 3 t y = 3 \sin t - \sin 3 t \end{matrix}

ただし、

0 ≦ t ≦ \frac{π}{2}

である。
(1)

\frac{d x}{d t}

および

\frac{d y}{d t}

を計算し、Cの概形を図示せよ。
(2)Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

2016東京工業大学理系過去問

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