問題文全文(内容文)：
次の各問いに答えよ。ただし、答えは結果のみを解答欄に記入せよ。(1) $1$ から $n$ までの自然数を重複なく $1$ 枚に $1$ つずつ記した $n$ 枚のカードを用意した。 $n$ 枚のカードから同時に $2$ 枚のカードを選ぶ。カードに記された数字の和が $n+1$ より小さい場合が何通りあるか調べたい。$n=8$ のときは何通りあるか。$n=9$ のときは何通りあるか。$n$ が偶数のとき何通りあるか。$n$ が奇数のとき何通りあるか。(2) $p$ は自然数とする（ $p < n$ ）。 $n$ 枚のカードから $p$ と $p+1$ が記された計 $2$ 枚のカードを抜き出した。残ったカードに記された自然数をすべて合計すると $2023$ となった。このときの自然数 $p$ と $n$ とを求めよ。

問題文全文(内容文)：
$a,b$実数
$a^2+b^2=16$
$a^3+b^3=44$

（1）
$a+b$の値は？

（2）
$a^n+b^n(n \geqq 2,$自然数$)$が4の倍数であることを示せ

出典：1997年東京大学　過去問

問題文全文(内容文)：
複素数からなる数列${z_n}$を、次の条件で定める。
$z_1=0,\ \ \ z_{n+1}=(1+i)z_n-i \ \ \ (i=1,2,3, \ \ ...)$
正の整数nに対し、z_nに対応する負素数平面上の点をA_nとおく。
(1)$z_2=\boxed{ツ }+\boxed{ツ }\ i, \ \ \ z_3=\boxed{ト}+$
$\boxed{ナ}\ i,\ \ \ z_4=\boxed{二}+\boxed{ヌ}\ i $である。
(2)$r \gt 0,\ 0 \leqq θ \lt 2\pi$ を用いて、$1+i=r(\cos θ+i\sin θ)$のように$1+i$を極形式で
表すとき、$r=\sqrt{\boxed{ネ}},\ θ=\frac{\boxed{ノ }}{\boxed{ハ}}\pi$である。
(3)すべての正の整数nに対する$\triangle PA_nA_{n+1}$が互いに相似になる点Pに対応する
複素数は、$\boxed{ヒ}+\boxed{フ }\ i$である。
(4)$|z_n| \gt 1000$となる最小のnは$n=\boxed{へ}$である。
(5)$A_{2022+k}$が実軸上にある最小の正の整数kは$k=\boxed{ホ}$である。

2022上智大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる
数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
$a_1$ = $1$, $a_{n+1} = 2a_n + 3n $

問題文全文(内容文)：
初項が $1$、第10項が $3$ である数列 $\{a_n\}$ が
\begin{equation*}
a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n+1=0 \quad (n=1,2,3,\ldots)
\end{equation*}
を満たしている。$b_n=a_{n+1}-a_n \ (n=1,2,3,\ldots)$ とおくとき、以下の問いに答えよ。
$(1)$ $b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表せ。
$(2)$ $b_n$ を $n$ と $b_1$ を用いて表せ。
$(3)$ $b_1$ を求めよ。
$(4)$ 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。