問題文全文(内容文)：
サイコロを$n$回ふって
(1)$n$回目にはじめて積が$12$になる確率を求めよ.
(2)積が$12$になる確率を求めよ.

1996一橋大過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ 袋Aには白玉2個、赤玉1個、袋Bには白玉1個、赤玉2個が入っている。\\
この状態から始めて、次の操作を繰り返し行う。\\
操作\\
①　袋A、袋Bから玉を1個ずつ取り出す。\\
②　(\textrm{i})取り出した2個の玉の色が同じである場合は、取り出した玉を2個とも\\
袋Aに入れる。\\
(\textrm{ii})取り出した2個の玉の色が異なる場合は、袋Aから取り出した玉は袋B\\
に入れ、袋Bから取り出した玉は袋Aに入れる。\\
このとき、\\
・操作を2回繰り返した後に袋Aに入っている赤玉の個数が1個である確率は\boxed{\ \ (ア)\ \ }\\
・操作を3回繰り返した後に袋Aに入っている赤玉の個数が0個である確率は\boxed{\ \ (イ)\ \ }\\
である。
\end{eqnarray}

2022東京慈恵会医科大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 赤玉4個と白玉5個の入った、中の見えない袋がある。玉はすべて、色が区別できる他には違いはないものとする。A,Bの2人が、Aから交互に、袋から玉を1個ずつ取り出すゲームを行う。ただし取り出した玉は袋の中に戻さない。Aが赤玉を取り出したらAの勝ちとし、その時点でゲームを終了する。Bが白玉を取り出したらBの勝ちとし、その時点でゲームを終了する。袋から玉がなくなったら引き分けとし、ゲームを終了する。
(1)このゲームが引き分けとなる確率を求めよ。
(2)このゲームにAが勝つ確率を求めよ。

2023東北大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I}　場合の数(2)　完全順列\hspace{140pt}\\
1,2,3,4を1列に並べたものをa_1a_2a_3a_4とする。\\
a_1≠1,a_2≠2,a_3≠3,a_4≠4を満たす並べ方は何通りあるか。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 次の問題\hspace{310pt}\\
問題\\
表面と裏面が出る確率がそれぞれであるコインを投げる試行を繰り返し、同\\
じ面が3回連続して出た時点で試行を終了する。n回投げ終えた段階で試行が\\
終了する確率 p_nを求めよ。\\
に対する次の答案Aについて以下の問いに答えよ。\\
(1) もし答案Aに誤りがあれば誤りを指摘し、その理由を述べよ。ただし、すでに\\
指摘してある誤った結論から論理的に導き出した結論を誤りとして指摘する必要\\
はない。誤りがないときは「誤りなし」と答えよ。\\
(2) 答案Aで導かれたp_nと正解のp_nとで値が異なるとき、値が異なる最小のnを\\
求め、そのnに対する正解のpnの値を答えよ。そのようなnがないときは\\
「すべて一致する」と答えよ。\\
\\
答案A\\
自然数nに対して、コインをn回投げ終えた段階で、その後最短で試行が終了するために\\
必要な回数がk回(k \geqq 0)である確率をp_n(k)とする。このとき、\\
kは0,1,2のいずれかであるから、確率の総和は\\
p_n(0)+p_n(1)+p_n(2)=1\\
である。また、p_n(0)=p_n,p_{n+1}(0)=\frac{1}{2}p_n(1),p_{n+2}(0)=\frac{1}{4}p_n(2)　であるから漸化式\\
p_n+2p_{n+1}+4p_{n+2}=1　(n \geqq 1)\\
を得る。ここで\frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1なので、q_n=2^n(p_n-\frac{1}{7})とすれば\\
q_n+q_{n+1}+q_{n+2}=0\\
である。よってn \geqq 4に対して\\
q_n=-q_{n-1}-q_{n-2}=(q_{n-2}+q_{n-3})-q_{n-2}=q_{n-3}\\
が成立する。以上より、\\
Q(x)=
\left\{
\begin{array}{1}q_1　(nを3で割った時の余りが1のとき)\\
q_2　(nを3で割った時の余りが2のとき)\\
q_3　　　　　　(nが3で割り切れるとき)\\
\end{array}
\right.\\
\\
とすれば求める確率は\\
p_n=\frac{q_n}{2^n}+\frac{1}{7}=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7}　(n \geqq 4)\\
である。また最初の2項は定義よりp_1=p_2=0でありp_nの漸化式でn=1とすれば\\
p_1+2p_2+4p_3=1　であるからp_3=\frac{1}{4}である。さらに\\
q_1=-\frac{2}{7},　q_2=-\frac{4}{7},　q_3=\frac{6}{7}\\
\\
である。したがって\\
p_1=p_2=0,　p_3=\frac{1}{4},　p_n=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7}　(n \geqq 4)\\
となる。
\end{eqnarray}

2022浜松医科大学医学部過去問