福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第4問〜確率漸化式 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第4問〜確率漸化式

問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{4}$ 2つのチーム$W$, $K$が$n$回試合を行う。ただし$n$≧2とする。各試合での$W$, $K$それぞれの勝つ確率は$\displaystyle\frac{1}{2}$とし、引き分けはないものとする。$W$が連敗しない確率を$p_n$とする。ただし、連敗とは2回以上続けて負けることを言う。
(1)$p_3$を求めよ。
(2)$p_{n+2}$を$p_{n+1}$と$p_n$を用いて表せ。
(3)以下の2式を満たす$\alpha$, $\beta$を求めよ。ただし、$\alpha$<$\beta$とする。
$p_{n+2}$-$\beta p_{n+1}$=$\alpha (p_{n+1}-\beta p_n)$
$p_{n+2}$-$\alpha p_{n+1}$=$\beta (p_{n+1}-\alpha p_n)$
(4)$p_n$ を求めよ。
単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数B
指導講師: JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{4}$ 2つのチーム$W$, $K$が$n$回試合を行う。ただし$n$≧2とする。各試合での$W$, $K$それぞれの勝つ確率は$\displaystyle\frac{1}{2}$とし、引き分けはないものとする。$W$が連敗しない確率を$p_n$とする。ただし、連敗とは2回以上続けて負けることを言う。
(1)$p_3$を求めよ。
(2)$p_{n+2}$を$p_{n+1}$と$p_n$を用いて表せ。
(3)以下の2式を満たす$\alpha$, $\beta$を求めよ。ただし、$\alpha$<$\beta$とする。
$p_{n+2}$-$\beta p_{n+1}$=$\alpha (p_{n+1}-\beta p_n)$
$p_{n+2}$-$\alpha p_{n+1}$=$\beta (p_{n+1}-\alpha p_n)$
(4)$p_n$ を求めよ。
投稿日:2024.05.12

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問題文全文(内容文):
$0$以上の整数の集合を$\mathbb{N}$$_0$とする。
$f:$$\mathbb{N}$$_0$→$\mathbb{N}$$_0$が任意の$x≧y\in $$\mathbb{N}$$_0$で$f(x^2)-f(y^2)=f(x+y)f(x-y)$を満たす。
$f(x)$を求めよ。
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指導講師: JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文):
$n$を$2$以上の整数とし、$a_1,a_2,a_3,・・・,a_n$を正の整数とする。
$a_1=1,{a_{i+3}}^3\lt 27{a_i}^4(i=1,2,3,・・・,n-1)$
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{a_{i+1}}=\frac{a_1}{a_{2}}+\frac{a_2}{a_{3}}+\frac{a_3}{a_{4}}+・・・+\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\lt 1$
であるとき、$a_n$のとりうる値の最大値は?
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問題文全文(内容文):
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単元: #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数B
指導講師: JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文):

$\boxed{6}$

$n$は$2$以上の整数とする。

$1$枚の硬貨を続けて$n$回投げる。

このとき、$k$回目$(1\leqq l \leqq n)$に表が出たら

$X_k=1$、裏が出たら$X_k=0$として、

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$を定める。

$Y_n=\displaystyle \sum_{k-2}^{n} X_{k-1}X_k$とするとき、

$Y_n$が奇数である確率$p_n$を求めよ。

$2025$年京都大学理系過去問題
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指導講師: JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{5}$ $a_n$=$\displaystyle\frac{1}{n!}\int_1^e(\log x)^ndx$ ($n$=1,2,3,...)とおく。
(1)$a_1$を求めよ。
(2)不等式0≦$a_n$≦$\frac{e-1}{n!}$ が成り立つことを示せ。
(3)$n$≧2のとき、$a_n$=$\displaystyle\frac{e}{n!}$-$a_{n-1}$ であることを示せ。
(4)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{k!}$ を求めよ。
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