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数学$\textrm{III}$　変化率(3)　水の問題(2)
右図(※動画参照)のような直円錐の容器に水が満たされている。下側から$2cm^3$秒
の割合で水が流出する。水面の高さが8cmになった瞬間の水面の下降する
速度と水面の面積が減少する速度を求めよ。

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東京大学 2021年理科第３問（２）それぞれの項で分けて丁寧に積分せよ
関数
$f(x)=\dfrac{x}{x²+3}$
に対して、$y=f(x)$のグラフをCとする。点A($1,f(1)$)におけるCの接線を
$l:y=g(x)$
とする。
(1)Cとlの共有点でAと異なるものがただ1つ存在することを示し、その点のx座標を求めよ。
(2)(1)で求めた共有点のx座標をαとする。定積分
$\displaystyle \int_{\alpha}^1{f(x)-g(x)}^2 dx$
を計算せよ。

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数学$\textrm{III}$グラフを描こう(7)
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=t^2+1\\
y=2-t-t^2
\end{array}
\right.
　(-2 \leqq t \leqq 1)
\end{eqnarray}$

のグラフを描け。
凹凸は調べなくてよい。

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$\boxed{1}-(6)$
$f`(x)=x\sqrt{f(x)}$である.
$f(2)=1$を満たす関数$f(x)$を求めよ.

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$r$を正の実数とし、円$C_1:(x-2)^2+y^2=r^2$、楕円$C_2:\frac{x^2}{9}+y^2=1$を考える。
(1)円$C_1$と楕円$C_2$の共有点が存在するようなrの値の範囲は$\boxed{\ \ カ\ \ } \leqq r \leqq \boxed{\ \ キ\ \ }$である。
(2)$r=1$のとき、$C_1$と$C_2$の共有点の座標を全て求めると$\boxed{\ \ ク\ \ }$である。
これらの共有点のうちy座標が正となる点のy座標を$y_0$とする。連立不等式

$\left\{\begin{array}{1}
(x-2)^2+y^2 \leqq 1\\
0 \leqq y \leqq y_0\\
\end{array}\right.$
の表す領域の面積は$\boxed{\ \ ケ\ \ }$である。

(3)連立不等式
$\left\{\begin{array}{1}
(x-2)^2+y^2 \leqq 1\\
\displaystyle\frac{x^2}{9}+y^2 \geqq 1\\
y \geqq 0\\
\end{array}\right.$
の表す領域をDとする。Dをy軸のまわりに
1回転させてできる立体の体積は$\boxed{\ \ コ\ \ }$である。

2022慶應義塾大学理工学部過去問