福田のわかった数学〜高校３年生理系076〜平均値の定理(4)数列の極限の問題

問題文全文(内容文)：
数学

III

平均値の定理(4)
微分可能な関数

f (x)

が

f (1) = 1, 0 < f^{'} (x) ≦ \frac{1}{2}

を満たしている。

a_{n + 1} = f (a_{n})

で定義される数列

{a_{n}}

について、

lim_{n \to \infty} a_{n} = 1

であることを示せ。

単元： #数列#漸化式#関数と極限#微分とその応用#数列の極限#接線と法線・平均値の定理#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

平均値の定理(4)
微分可能な関数

f (x)

が

f (1) = 1, 0 < f^{'} (x) ≦ \frac{1}{2}

を満たしている。

a_{n + 1} = f (a_{n})

で定義される数列

{a_{n}}

について、

lim_{n \to \infty} a_{n} = 1

であることを示せ。

投稿日：2021.09.20

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問題文全文(内容文)：
次の数列の一般項を求めよ。

2, 4, 7, 13, 24, 42, 69, 107, 158, \dots

次の和を求めよ。
(1)

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{4 k^{2} - 1}

(2)

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2} + 2 k}

(3)

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 1) (k + 2)}

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問題文全文(内容文)：
東邦大学過去問題

2 l o g_{5} x + l o g_{5} y = l o g_{5} (x^{2} + y + 59)

を満たす整数x,y

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\sum_{k = 1}^{2 n} (- 1)^{k - 1} k^{2}

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x + y + z = 28

を満たす非負整数の組(x,y,z)のうちZが偶数となる場合の個数

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問題文全文(内容文)：

a_{1}

は7であり,

n^{2} a_{n + 1} - (n + 1)^{2} a_{n} = - n^{2} (n + 1)^{2}

である.

(1)

a_{n}

の一般項を求めよ.

(2)

a_{n}

の最大値を求めよ.

東京女子大過去問

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問題文全文(内容文)：

a_{1}

\frac{1}{2}

a_{n + 1}

\sqrt{\frac{a_{n} + 1}{2}}

を満たす数列

{a_{n}}

の一般項

a_{n}

を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

2

　1年目の初めに新規に100万円を預金し、2年目以降の毎年初めに12万円を追加で預金する。ただし、毎年の終わりに、その時点での預金額の8%が利子として預金に加算される。自然数

n

に対して、

n

年目の終わりに利子が加算された後の預金額を

S_{n}

万円とする。このとき、以下の問いに答えよ。
ただし、

\log_{10} 2

=0.3010,　

\log_{10} 3

=0.4771とする。
(1)

S_{1}

S_{2}

をそれぞれ求めよ。
(2)

S_{n + 1}

を

S_{n}

を用いて表せ。
(3)

S_{n}

を

n

を用いて表せ。
(4)

\log_{10} 1.08

を求めよ。
(5)

S_{n}

＞513　を満たす最小の自然数

n

を求めよ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田のわかった数学〜高校３年生理系076〜平均値の定理(4)数列の極限の問題

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