問題文全文(内容文)：
第4問　
(1)$5^4=625$を$2^4$で割った時の余りは1に等しい。このことを用いると、不定方程式

$5^{4}x-2^{4}y=1 \dots \mathrm{①}$
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}},y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}\mathrm{ウ}}}$であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}\mathrm{オ}}}, y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}\mathrm{ク}}}$である。

(2)次に、${625}^2$を$5^5$で割った時の余りと、$2^5$で割った時の余りについて考えてみよう。
まず、
${625}^2=5^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}$
であり、また$m=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}\mathrm{ウ}}}$とすると、${625}^2=2^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}{m}^2+2^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}m+1$である。
これらにより、${625}^2$を$5^5$で割った時の余りと、$2^5$で割った時の余りがわかる。

(3)(2)の考察は、不定方程式
$5^{5}x-2^{5}y=1 \dots \mathrm{②}$
の整数解を調べるために利用できる。x,yを②の整数解とする。
$5^{5}x$は$5^5$の倍数であり、$2^5$で割った時の余りは1となる。よって(2)により、
$5^{5}x-{625}^2$は$5^5$でも$2^5$でも割り切れる。$5^5$と$2^5$は互いに素なので
$5^{5}x-{625}^2$は$5^5\mathrm{・}{2}^5$の倍数である。このことから、②の整数解のうち、
xが3桁の正の整数で最小になるのは
$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}\mathrm{ス}}}, y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}\mathrm{タ}\mathrm{チ}\mathrm{ツ}}}$
であることが分かる。

(4)${11}^4$を$2^4$で割った時の余りは1に等しい。不定方程式
${11}^{5}x-2^{5}y=1$
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}\mathrm{ト}}}, y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}\mathrm{ニ}\mathrm{ヌ}\mathrm{ネ}\mathrm{ノ}}}$　である。

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