福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題035〜東京大学2017年度理系第４問〜数列の帰納的定義と最大公約数

問題文全文(内容文)：

p = 2 + \sqrt{5}

とおき、自然数

n = 1, 2, 3, \dots

対して

a_{n} = p^{n} + {(- \frac{1}{p})}^{n}

と定める。以下の問いに答えよ。(1)は結論のみを書けばよい。
(1)

a_{1}, a_{2}

の値を求めよ。
(2)

n ≧ 2

とする。積

a_{1} a_{n}

を、

a_{n + 1}

と

a_{n - 1}

を用いて表せ。
(3)

a_{n}

は自然数であることを示せ。
(4)

a_{n + 1}

と

a_{n}

の最大公約数を求めよ。

2017東京大学理系過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

p = 2 + \sqrt{5}

とおき、自然数

n = 1, 2, 3, \dots

対して

a_{n} = p^{n} + {(- \frac{1}{p})}^{n}

と定める。以下の問いに答えよ。(1)は結論のみを書けばよい。
(1)

a_{1}, a_{2}

の値を求めよ。
(2)

n ≧ 2

とする。積

a_{1} a_{n}

を、

a_{n + 1}

と

a_{n - 1}

を用いて表せ。
(3)

a_{n}

は自然数であることを示せ。
(4)

a_{n + 1}

と

a_{n}

の最大公約数を求めよ。

2017東京大学理系過去問

投稿日：2022.12.20

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単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#静岡大学#数学(高校生)#数B

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の問いに答えよ。
（1）

k

を2以上の自然数とする。

x

の整式

(1 + x)^{k}

において

x^{2}

の係数を求めよ。

（2）

n

を２以上の自然数とする。

x

の整式

\sum_{k = 1}^{n} (1 + x)^{k}

において

x^{2}

の係数を

a_{n}

とする。
　　（ⅰ）

a_{n}

を求めよ。
　　（ⅱ）

S_{n} = \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ・ ・ ・ + \frac{1}{a_{n}}

を求めよ。

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福田の数学〜慶應義塾大学2023年看護医療学部第２問(3)〜推定して数学的帰納法

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

(3) 次の条件によって定められる数列

{a_{n}}

がある。

a_{1}

=1,

a_{n + 1}

\sqrt{a_{n}^{2} + 1}

(

n

=1,2,3,...)
(i)

a_{2}

シ

a_{3}

ス

であり、一般項

a_{n}

を推定すると

a_{n}

セ

である。
(ii)一般項

a_{n}

が

a_{n}

セ

であることの数学的帰納法による証明を述べよ。

2023慶應義塾大学看護医療学部過去問

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大学入試問題#61　大阪工業大学(2021)　数列

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#大阪工業大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

S_{n} = \frac{n + 3}{2} a_{n} - 6

を満たすとき
一般項

a_{n}

を求めよ。

出典：2021年大阪工業大学　入試問題

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【高校数学】計算のテクニック～シグマの例題演習～ 3-8.5【数学Ｂ】

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
次の和を求めよ。

1^{2} ・ 2 + 2^{2} ・ 3 + 3^{2} ・ 4 + \dots + n^{2} ・ (n + 1)

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慶應義塾大（経済）数列の最大値

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2011慶應義塾大学過去問題
n=1,2,・・・100

a_{n} = n 3^{n}

・

_{100} C_{n}

a_{n}

を最大にするnの値

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